Question

Производная. Лёгкий пример, но зашла в тупик. С решением, пожалуйста. Вычислите производную функции f(x)=(x+1)√x в точке x=2

Answer 1

$\displaystyle f`(x)=((x+1) \sqrt{x})`=(x+1)` \sqrt{x} +( \sqrt{x} )`(x+1)= \sqrt{x} + \frac{x+1}{2 \sqrt{x} }=$

$\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{x}}*(x+ \frac{x+1}{2})$

х=2, подставим

$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2}}*(2+ \frac{2+1}{2})= \frac{1}{ \sqrt{2}}(2+ \frac{3}{2})= \frac{1}{ \sqrt{2}}*( \frac{7}{2})= \frac{7}{2 \sqrt{2}}= \frac{7 \sqrt{2}}{4}$

Answer 2

Вычисление производной функции

Чтобы вычислить производную функции \( f(x) = (x+1)\sqrt{x} \) в точке \( x=2 \), воспользуемся правилом дифференцирования и вычислим значение производной.

1. Использование правила дифференцирования для умножения и корня Правило дифференцирования для функции вида \( u(x)v(x) \) состоит в умножении производной первой функции на вторую, затем прибавлении производной второй функции, умноженной на первую. Для вычисления производной корня \( \sqrt{x} \) используем правило \( \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

2. Вычисление производной функции f(x) \( f(x) = (x+1)\sqrt{x} \) Для удобства, можно представить функцию в виде \( f(x) = (x+1)x^{1/2} \).

Теперь вычислим производную \( f'(x) \): \( f'(x) = (x+1) \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} + \sqrt{x} \)

3. Вычисление значения производной в точке \( x=2 \) Теперь, чтобы найти значение производной в точке \( x=2 \), подставим \( x=2 \) в выражение для производной: \( f'(2) = (2+1) \cdot \frac{1}{2}2^{-1/2} + \sqrt{2} \) \( f'(2) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \) \( f'(2) = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \)

Таким образом, производная функции \( f(x) = (x+1)\sqrt{x} \) в точке \( x=2 \) равна \( \frac{3}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} \).