Question

2cos3x=√3 на промежутке от [-пи; пи]

Answer 1

2cos3x = √3 
cos3x = √3 / 2 
3x = arccos(√3 / 2) + 2πk, k є Z 
3x = ±π/6 + 2πk, k є Z 
x = ±π/18 + 2πk, k є Z

Answer 2

Для решения уравнения 2cos(3x) = √3 на промежутке от [-π, π], мы сначала приведем его к виду, который будет проще решить. Затем мы найдем значения x, удовлетворяющие уравнению.

Приведение уравнения к более простому виду

Используем тригонометрическое тождество cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1. Мы можем применить это тождество к нашему уравнению, чтобы получить:

2cos(3x) = √3 2(2cos^2(3x) - 1) = √3 4cos^2(3x) - 2 = √3

Теперь мы можем привести это к квадратному уравнению:

4cos^2(3x) = √3 + 2 cos^2(3x) = (√3 + 2)/4

Решение квадратного уравнения

Уравнение cos^2(3x) = (√3 + 2)/4 можно решить, найдя значения cos(3x), а затем находя соответствующие значения x.

Шаг 1: Находим значения cos(3x)

Используем формулу cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1, чтобы найти значения sin(3x):

sin^2(3x) = 1 - cos^2(3x) sin^2(3x) = 1 - (√3 + 2)/4 sin(3x) = ±√[(4 - √3 - 2)/4] sin(3x) = ±√[(2 - √3)/4] sin(3x) = ±√[(1 - √3)/2]/2

Шаг 2: Находим значения x

Теперь мы можем использовать обратные тригонометрические функции, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению.

Для sin(3x) = ±√[(1 - √3)/2]/2, возможны два случая:

1) sin(3x) = √[(1 - √3)/2]/2 В этом случае, мы ищем значения x, для которых sin(3x) равен положительному квадратному корню из [(1 - √3)/2]/2.

2) sin(3x) = -√[(1 - √3)/2]/2 В этом случае, мы ищем значения x, для которых sin(3x) равен отрицательному квадратному корню из [(1 - √3)/2]/2.

В обоих случаях, мы можем использовать обратную функцию sin^-1, чтобы найти значения x:

3x = sin^-1(√[(1 - √3)/2]/2) или 3x = -sin^-1(√[(1 - √3)/2]/2)

Так как задан промежуток [-π, π], мы можем найти значения x, деля решения на 3:

x = sin^-1(√[(1 - √3)/2]/6) или x = -sin^-1(√[(1 - √3)/2]/6)

Итак, решение уравнения 2cos(3x) = √3 на промежутке от [-π, π] - это значения x, найденные с помощью обратной функции синуса и деленные на 3:

x = sin^-1(√[(1 - √3)/2]/6)/3 или x = -sin^-1(√[(1 - √3)/2]/6)/3