Question

Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x нулевое : f(x)=x²+x+1, x нулевое = 1

Answer 1

$f(k)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)\\\\f(x)=x^2+x+1\\f(x_0)=1^2+1+1=3\\\\f'(x)=2x+1\\f'(x_0)=2*1+1=3\\\\f(k)=3+3*(x-1)\\f(k)=3+3x-3\\f(k)=3x$


Ответ:  f(k)=3x

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀, мы можем использовать производную функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. В точке, где мы хотим найти уравнение касательной, производная дает нам значение наклона касательной.

Для данной функции y = f(x) = x² + x + 1 и x₀ = 1, давайте сначала найдем производную функции f'(x). Затем мы используем это значение, чтобы найти наклон касательной в точке x₀. Наконец, используя наклон и координаты точки (x₀, f(x₀)), мы сможем записать уравнение касательной.

Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = f(x) = x² + x + 1, мы берем производную каждого слагаемого по отдельности. Производная слагаемого x² равна 2x, производная слагаемого x равна 1, а производная константы 1 равна 0. Затем мы суммируем производные слагаемых, чтобы получить производную всей функции.

f'(x) = 2x + 1

Нахождение наклона касательной

Теперь мы можем найти наклон касательной в точке x₀ = 1, подставив x₀ в производную функции f'(x).

f'(1) = 2 * 1 + 1 = 3

Таким образом, наклон касательной в точке x₀ = 1 равен 3.

Нахождение уравнения касательной

Теперь нам нужно найти уравнение касательной, используя найденный наклон и координаты точки (x₀, f(x₀)).

Координаты точки (x₀, f(x₀)) равны (1, 1² + 1 + 1) = (1, 3).

Используя формулу для уравнения прямой y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки на прямой и m - наклон касательной, подставим полученные значения:

y - 3 = 3(x - 1)

Раскроем скобки:

y - 3 = 3x - 3

Перенесем -3 на другую сторону:

y = 3x

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x) = x² + x + 1 в точке с абсциссой x₀ = 1 равно y = 3x.