Question

Из равенства х+(7-3i)y=12+4i найти х и у если а) х и у действительные числа б) х и у чисто мнимые числа

Answer 1

Два комплексных числа $a+bi$ и $c+di$  равны между собой тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$;

а) $x+(7-3i)y=x+7y-3yi=12+4i$, откуда $x=\frac{64}{3},\; y=-\frac{4}{3}$

б) Пусть $x=x'i,\; y=y'i$; Тогда $x'i+7y'i-3y'i\times i=3y'+i(x'+7y')=12+4i$;

Значит, $y'=4,\; x'=-24$

Ответ: а) $(\frac{64}{3} , -\frac{4}{3})$

           б) $(-24i,\; 4i)$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем привести его к системе уравнений, заменив комплексные числа на их действительную и мнимую части.

Исходное уравнение: х(7 - 3i)y = 12 + 4i

Давайте представим х и у как сумму их действительных и мнимых частей:

х = x₁ + x₂i у = y₁ + y₂i

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

(7 - 3i)(x₁ + x₂i)(y₁ + y₂i) = 12 + 4i

Раскроем скобки и сгруппируем действительные и мнимые части:

(7x₁ - 3x₂y₁) + (7x₂y₁ + 3x₁y₂)i + (-3x₂y₂)i² = 12 + 4i

Учтем, что i² = -1:

(7x₁ - 3x₂y₁) + (7x₂y₁ + 3x₁y₂)i - 3x₂y₂ = 12 + 4i

Теперь мы можем сравнить действительные и мнимые части обеих сторон уравнения, чтобы получить систему уравнений:

Действительная часть: 7x₁ - 3x₂y₁ = 12

Мнимая часть: 7x₂y₁ + 3x₁y₂ - 3x₂y₂ = 4

Решение для действительных чисел (а)

Если х и у являются действительными числами, то мнимые части обеих сторон уравнения должны быть равны нулю.

7x₂y₁ + 3x₁y₂ - 3x₂y₂ = 0

Так как x и y являются действительными числами, то x₂ = y₂ = 0.

Теперь рассмотрим действительную часть:

7x₁ - 3x₂y₁ = 12

Подставим x₂ = y₂ = 0:

7x₁ = 12

Решая это уравнение, получаем:

x₁ = 12/7

Таким образом, если х и у являются действительными числами, то x = 12/7, y = 0.

Решение для чисто мнимых чисел (б)

Если х и у являются чисто мнимыми числами, то действительные части обеих сторон уравнения должны быть равны нулю.

7x₁ - 3x₂y₁ = 0

Так как x и y являются чисто мнимыми числами, то x₁ = y₁ = 0.

Теперь рассмотрим мнимую часть:

7x₂y₁ + 3x₁y₂ - 3x₂y₂ = 4

Подставим x₁ = y₁ = 0:

-3x₂y₂ = 4

Решая это уравнение, получаем:

x₂y₂ = -4/3

Таким образом, если х и у являются чисто мнимыми числами, то x = 0, y = -4/3.

Итак, решение данного уравнения зависит от того, являются ли х и у действительными числами или чисто мнимыми числами. Если х и у - действительные числа, то x = 12/7, y = 0. Если х и у - чисто мнимые числа, то x = 0, y = -4/3.