Question

Знайти площу фігури обмеженої графіками функції y=x'2+2x, y=x+2

Answer 1

$\displaystyle\\S=\int\limits^1_{-2} {x+2-x^2-2x} \, dx =\int\limits^1_{-2} {-x^2-x+2} \, dx=(-\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3})\mid^1_{-2}=\\\\\\ =-\frac{1}{2}+2*1-\frac{1^3}{3}-(-\frac{(-2)^2}{2}+2*(-2)-\frac{(-2)^3}{3})=\frac{9}{2}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій y = x^2 + 2x та y = x + 2, ми можемо скористатися методом площі між кривими. Цей метод полягає у відніманні однієї площі від іншої.

Почнемо з того, що знайдемо точки перетину цих двох функцій. Поставимо їх у рівняння і розв'яжемо їх:

x^2 + 2x = x + 2

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуємо це рівняння:

(x + 2)(x - 1) = 0

Отже, ми отримали дві точки перетину: x = -2 і x = 1.

Тепер розглянемо інтервали між цими точками. Візьмемо значення x в межах від -2 до 1 і підставимо їх у функції, щоб отримати відповідні значення y.

Для функції y = x^2 + 2x:

При x = -2, y = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 При x = 1, y = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3

Для функції y = x + 2:

При x = -2, y = -2 + 2 = 0 При x = 1, y = 1 + 2 = 3

Тепер ми можемо побудувати графік цих функцій та область, яку ми хочемо обмежити:

  |
3 |       /\
  |      /  \
  |     /    \ 
2 |    /      \
  |   /        \
1 |  /          \
  | /            \
0 |/_____________\
  | -2  -1   0   1

Обмежена область позначена зверху графіками двох функцій.

Тепер використаємо метод площі між кривими для знаходження площі цієї фігури. Це означає, що ми відніматимемо площу під однією кривою від площі під іншою.

Площа під кривою y = x^2 + 2x: ∫(x^2 + 2x) dx = (1/3)x^3 + x^2 + C

Площа під кривою y = x + 2: ∫(x + 2) dx = (1/2)x^2 + 2x + C

Для знаходження площі фігури, ми відніматимемо площу під кривою y = x^2 + 2x від площі під кривою y = x + 2.

Площа фігури = [(1/2)x^2 + 2x + C] - [(1/3)x^3 + x^2 + C]

Підставляючи межі інтегрування -2 і 1, отримуємо:

Площа фігури = [(1/2)(1)^2 + 2(1) + C] - [(1/3)(1)^3 + (1)^2 + C] - [(1/2)(-2)^2 + 2(-2) + C] + [(1/3)(-2)^3 + (-2)^2 + C]

Площа фігури = [1/2 + 2 + C] - [1/3 + 1 + C] - [1/2 + 4 + C] + [-8/3 + 4 + C]

Збираючи всі члени разом, отримуємо:

Площа фігури = 1/2 + 2 - 1/3 - 1 - 1/2 - 4 + 8/3 - 4

Площа фігури = 8/3 - 1/2 - 1/3 - 1 - 4 + 2

Площа фігури = 16/6 - 3/6 - 2/6 - 6/6 - 24/6 + 12/6

Площа фігури = -7/6

Отже, площа фігури, обмеженої графіками функцій y = x^2 + 2x та y = x + 2, дорівнює -7/6.