Question

Довести, що при непарному n 9^n+13^n кратне 11 *Доказать, что при не парном n 9^n+13^n кратно 11​

Answer 1

Решение методом математической индукции, смотри прикреплённое изображение ===>>

Answer 2

Доказательство того, что 9^n + 13^n кратно 11 при нечетном n

Чтобы доказать, что 9^n + 13^n кратно 11 при нечетном n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции: При n=1: 9^1 + 13^1 = 9 + 13 = 22, что не делится на 11 без остатка.

Предположение индукции: Предположим, что для некоторого нечетного k, 9^k + 13^k делится на 11 без остатка.

Индукционный переход: Докажем, что если предположение индукции выполняется для k, то оно выполняется и для k+2.

9^(k+2) + 13^(k+2) = 81*9^k + 169*13^k = 81*(9^k) + 169*(13^k)

Заметим, что 81 и 169 соответствуют остаткам от деления на 11, а именно 4 и 3 соответственно. Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом:

81*(9^k) + 169*(13^k) ≡ 4*(9^k) + 3*(13^k) (mod 11)

Теперь, используя предположение индукции, мы знаем, что 9^k + 13^k делится на 11 без остатка. Таким образом, 4*(9^k) + 3*(13^k) также будет кратно 11.

Таким образом, мы показали, что если 9^k + 13^k делится на 11 при нечетном k, то оно будет делиться и при k+2. Поскольку база индукции уже доказана, мы можем заключить, что 9^n + 13^n кратно 11 для всех нечетных n.