Question

4.10. Сколько различных четырехзначных натуральных чисел можно получить из цифр 0, 5, 6, 7, 8, если: (а) цифры в числе могут повторяться; (b) никакая цифра не может повторяться; (c) число должно делиться на 9; г) число не может быть меньше 6000? около​

Answer 1

Ответ:

а) 500

б) 96

в) 70

г) 375

Пошаговое объяснение:

а) Если цифры могут повторяться, то на месте первой цифры может стоять одна из четырёх цифр (5, 6, 7 или 8, 0 не подходит, поскольку тогда число не будет четырёхзначным), а на месте второй, третьей и четвёртой цифр может стоять любая из 5 цифр. Тогда общее количество возможных вариантов равно 4 * 5 * 5 * 5 = 20 * 25 = 500 чисел

б) Если цифры не могут повторяться, то на месте первой цифры также может стоять одна из четырёх цифр (5, 6, 7 или 8), на месте второй - любая из четырёх цифр (0 и 3 другие цифры, не использовавшиеся на месте первой), на месте третьей - одна из 3 цифр и на месте четвёртой - одна из 2 цифр. Тогда общее количество возможных вариантов равно 4 * 4 * 3 * 2 = 16 * 6 = 96 чисел

в) Для деления числа на 9 необходимо, чтобы сумма его чисел делилась на 9. Разобьём четырёхзначное число на пары цифр (первая-вторая и третья-четвёртая). Из представленных в условии цифр можно получить 7 возможных комбинаций сумм двух цифр, которые делятся на 9: это 5 и 13, 6 и 12, 7 и 11, 8 и 10, 11 и 16, 12 и 15, 13 и 14. Тогда число комбинаций сумм всех четырёх цифр будет равняться 7 * 5 = 35, а поскольку каждая из комбинаций может иметь ещё по 2 варианта расстановки, умножим получившееся выражение на 2 и получим 35 * 2 = 70 чисел

г) Для того чтобы число превышало 6000, необходимо, чтобы в разряде тысяч, то есть на месте первой цифры стояла одна из трёх цифр (6, 7 или 8), а на месте второй, третьей и четвёртой цифр может стоять любая из 5, тогда таких чисел будет 3 * 5 * 5 * 5 = 15 * 25 = 375 чисел

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим каждое условие отдельно:

(a) Если цифры в числе могут повторяться: В данном случае, мы имеем шесть возможных цифр: 0, 5, 6, 7, 8. Чтобы получить количество различных четырехзначных чисел, мы можем просто умножить количество возможных цифр на каждой позиции. Так как мы выбираем цифры из шести возможных, у нас есть 6 вариантов для каждой из четырех позиций. Поэтому общее количество различных четырехзначных чисел будет равно 6 * 6 * 6 * 6 = 1296.

(b) Если никакая цифра не может повторяться: В этом случае, у нас также есть шесть возможных цифр: 0, 5, 6, 7, 8. Однако, поскольку никакая цифра не может повторяться, мы должны выбрать разные цифры для каждой позиции. На первой позиции у нас есть 6 вариантов (любая из шести цифр). На второй позиции у нас остается 5 вариантов (поскольку мы уже выбрали одну цифру). На третьей позиции у нас остается 4 варианта, и на четвертой позиции остается 3 варианта. Общее количество различных четырехзначных чисел будет равно 6 * 5 * 4 * 3 = 360.

(c) Если число должно делиться на 9: Чтобы число было кратным 9, сумма его цифр также должна быть кратной 9. В нашем случае, сумма цифр равна 0 + 5 + 6 + 7 + 8 = 26, что не является кратным 9. Следовательно, нет четырехзначных чисел, которые удовлетворяют этому условию.

(d) Если число не может быть меньше 6000: Мы можем рассмотреть два случая: когда первая цифра равна 6 и когда первая цифра равна 7 или 8. - Если первая цифра равна 6, то у нас остается 5 вариантов для каждой из оставшихся трех позиций (0, 5, 7, 8). Общее количество различных чисел будет равно 5 * 5 * 5 = 125. - Если первая цифра равна 7 или 8, то у нас остается 4 варианта для каждой из оставшихся трех позиций (0, 5, 6, 7, 8). Общее количество различных чисел будет равно 4 * 4 * 4 = 64.

Таким образом, около количество различных четырехзначных натуральных чисел, которые можно получить из цифр 0, 5, 6, 7, 8, удовлетворяющих каждому из условий будет: 1296 (a), 360 (b), 0 (c), и около 189 (d).