Question

Знайдіть усі критичні точки функції . y=x ^4 + 4x ^3

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для того чтобы найти критические точки функции y = x^4 + 4x^3, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для начала найдем производную функции y по x. Используем правило дифференцирования для суммы и произведения функций:

y' = (x^4)' + (4x^3)' = 4x^3 + 3(4x^2) = 4x^3 + 12x^2

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x^3 + 12x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

4x^2(x + 3) = 0

Теперь решим полученное уравнение:

1) 4x^2 = 0 x^2 = 0 x = 0

2) x + 3 = 0 x = -3

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = -3.

Для определения характера этих точек (минимум, максимум или точка перегиба), нужно проанализировать знаки производной в окрестности этих точек. Для этого можно построить таблицу знаков производной:

x < -3 -3 < x < 0 x > 0 _________ ___________ ___________ + - + + + +

Исходя из таблицы, видно, что при x < -3 производная положительна, при -3 < x < 0 производная отрицательна, а при x > 0 производная снова положительна. Это значит, что у нас есть минимум функции при x = -3 и максимум при x = 0.

Таким образом, критические точки функции y = x^4 + 4x^3 равны x = -3 и x = 0, и при x = -3 функция имеет минимум, а при x = 0 - максимум.