Question

Вычисли наибольшее значение функции y =х/64+х^2 на лучe [0; + co). Ответ (вводи в виде сокращённой дроби): Унаиб= Укажи стационарные точки функции (выбери один ответ): *стационарных точек нет *+-3 *+-64 * +-8

Answer 1

Ответ:

Унаиб=1/16

Стационарные точки функции

*±8

Пошаговое объяснение:

Рассматривается функция

$\displaystyle \tt y=\dfrac{x}{64+x^2}.$

Вычислим производную от функции:

$\displaystyle \tt y'= \left( \dfrac{x}{64+x^2} \right )'= \dfrac{(x)' \cdot (64+x^2)-x \cdot (64+x^2)'}{(64+x^2)^2}=\dfrac{64+x^2-x \cdot 2 \cdot x}{(64+x^2)^2}=\\\\=\dfrac{64-x^2}{(64+x^2)^2}.$

Находим стационарные точки функции

$\displaystyle \tt y'= 0 \Leftrightarrow \dfrac{64-x^2}{(64+x^2)^2} =0 \Leftrightarrow 64-x^2=0 \Leftrightarrow (8+x) \cdot (8-x)=0 \Rightarrow x= \pm 8.$

Так как 8∈[0; +∞) и при 0≤x<8 : y'>0, при x>8 : y'<0, то наибольшее значение функция достигает на лучe [0; +∞) в точке x=8, то есть

Унаиб=У(8)=8/(64+8²)=8/128=1/16.

Answer 2

Функция y = x/64 + x^2 задана на луче [0; +∞).

Вычисление наибольшего значения функции:

Чтобы найти наибольшее значение функции, мы можем использовать производную. Для этого возьмем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю:

y' = (1/64) + 2x = 0

Решим это уравнение относительно x:

2x = -1/64 x = -1/128

Таким образом, стационарная точка функции находится в точке x = -1/128.

Проверим, что это точка максимума, а не минимума, подставив найденное значение x во вторую производную функции:

y'' = 2

Так как вторая производная положительна, это подтверждает, что у нас есть точка максимума.

Теперь найдем значение функции при x = -1/128:

y = (-1/128)/64 + (-1/128)^2 = -1/8192 + 1/16384 = 1/16384 - 1/8192 = -1/16384

Таким образом, наибольшее значение функции y равно -1/16384.

Стационарные точки функции:

Стационарные точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю. Мы уже нашли такую точку ранее при вычислении наибольшего значения функции, и это x = -1/128.

Таким образом, стационарная точка функции y = x/64 + x^2 находится в точке x = -1/128.