Question

Найдите координату x точки минимума функции y=4x / x^2+4

Answer 1

Дана функция у = (4x /(x² + 4)).

Её производная равна y' = (4(x² + 4) - 2x*4x) / (x² + 4)² =

                                            = (-4x² + 16) / (x² + 4)².

Приравняем её нулю (достаточно числитель):

-4x² + 16 = 0,

x² = 16/4 = 4.

x = +-2.

Определяем характер полученных критических точек.

х =   -3       -2      0       2      3

y' = -20      0      16      0     -20.

Как видим, минимум функции в точке х = -2 (y' с - на +).

Ответ: координата x точки минимума функции равна -2.

Answer 2

Для того чтобы найти координату x точки минимума функции y=4x/(x^2+4), мы можем воспользоваться производной функции.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y=4x/(x^2+4) по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования сложной функции.

1. Найдем производную числителя: (4x)' = 4. 2. Найдем производную знаменателя: ((x^2+4)') = 2x. 3. Применим правило дифференцирования частного: (f/g)' = (f'g - fg') / g^2. 4. Получаем производную функции: y' = (4*(x^2+4) - 8x) / (x^2+4)^2.

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции находятся при условии y'=0. Поэтому мы можем решить уравнение (4*(x^2+4) - 8x) / (x^2+4)^2 = 0.

Решение уравнения

Решим уравнение (4*(x^2+4) - 8x) / (x^2+4)^2 = 0. Для этого выделим общий множитель в числителе и решим получившееся квадратное уравнение.

Получаем: 4*(x^2+4) - 8x = 0, Раскрываем скобки: 4x^2 + 16 - 8x = 0, Далее приводим подобные и переносим все слагаемые в одну часть уравнения: 4x^2 - 8x + 16 = 0.

Нахождение координат x точки минимума

Для нахождения координат x точки минимума функции, решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы определить, имеется ли у уравнения действительные корни, и если да, то сколько.

Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

После нахождения корней уравнения, мы найдем соответствующие значения y, которые будут координатами точек минимума функции.

После нахождения корней, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y и, таким образом, получить координаты точек минимума функции y=4x/(x^2+4).