Question

Дана функция u(М) = u(x y z) и точки М1 (1 2 1) М2 (-3 -2 6) Задания 1 вычислить произвольную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2 2 grad u(M1) x^2+2y^2-4z^2-5

Answer 1

Для начала найдем градиент функции u:
grad u = {2x, 4y, -8z}
grad u(M1) = {2*1, 4*2, (-8)*1} = {2, 8, -8}

M1M2 = {-3 - 1, -2 - 2, 6 - 1} = {-4, -4, 5}
Нормируем вектор M1M2, нормированный вектор M1M2 обозначим за n:
n = M1M2/sqrt((-4)^2 + (-4)^2 + 5^2) = {-4/sqrt(57), -4/sqrt(57), 5/sqrt(57)}

Производная по направлению:
du/dl = (grad u(M1), n) = -80/sqrt(57)

Если нигде не обсчитался…)

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо выполнить два пункта:

1) Вычислить произвольную этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2. 2) Найти градиент функции u(M1) = x^2 + 2y^2 - 4z^2 - 5.

1) Вычисление произвольной этой функции в точке М1 по направлению вектора М1М2: Для этого мы можем воспользоваться формулой производной по направлению. Пусть вектор М1М2 имеет координаты (a, b, c), тогда производная по направлению вектора М1М2 будет равна:

du/dt = ∇u • (a, b, c)

где ∇u - градиент функции u(x, y, z), а • обозначает скалярное произведение.

В нашем случае, у нас дана функция u(x, y, z) = u(x+y+z), а точка М1 имеет координаты (1, 2, 1), а точка М2 - (-3, -2, 6). Вектор М1М2 будет равен (М2 - М1) = (-3 - 1, -2 - 2, 6 - 1) = (-4, -4, 5).

Теперь мы можем вычислить произвольную функцию в точке М1 по направлению вектора М1М2:

du/dt = ∇u • (-4, -4, 5)

2) Нахождение градиента функции u(M1) = x^2 + 2y^2 - 4z^2 - 5: Градиент функции вычисляется путем нахождения частных производных функции по каждой из переменных x, y и z:

∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

В нашем случае, функция u(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - 4z^2 - 5, поэтому градиент будет равен:

∇u = (2x, 4y, -8z)

Теперь мы можем вычислить градиент функции u(M1):

∇u(M1) = (2*1, 4*2, -8*1) = (2, 8, -8)

Таким образом, мы получили ответ на оба задания:

1) Произвольная функция в точке М1 по направлению вектора М1М2 равна ∇u • (-4, -4, 5), где ∇u = (2, 8, -8). 2) Градиент функции u(M1) равен (2, 8, -8).