Question

В шахматном кружке занимаются 3 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревнованиях необходимо составить команду из четырех школьников, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

Answer 1

Ответ: 206 способами можно составить команду  из четырех школьников, в которую обязательно входит хотя бы одна девочка.

Пошаговое объяснение:

Формула сочетаний :

$\boldsymbol{C_m^n =\dfrac{m!}{(m-n)!\cdot n! } }$

Где  m - общее число элементов ,  а  n- число элементов которое мы берем из  m

В задаче есть ключевая фраза :   В  команду обязательно должна входить хотя бы одна девочка

Это означает в  что команду можем взять не менее одной девочки , т.е   в  команде могут быть  1,2,3 девочки .

Всего различных команд  3 ( в которых различное число мальчиков и девочек ) ,  находим число способов которыми можно составить каждую команду  , а затем складываем их  

Для первой команды выбираем одну девочку из 3 - x  , и*  трех мальчиков из 7-ми

"и" - это и есть ключевая буква ,  с помощью  нее можно понять  , что   мы будем умножать сочетания :

$\displaystyle C_3^1\cdot C _7^3 = \frac{3! }{2!\cdot 1! } \cdot \frac{7!}{4!\cdot 3!} = 3 \cdot 35 = 105$

Для второй  команды выбираем двух девочек из 3 - x  , и*  двух мальчиков из 7-ми

Аналогично

$\displaystyle C_3^2\cdot C _7^2 = \frac{3! }{1!\cdot 2! } \cdot \frac{7!}{5!\cdot 2!} = 3 \cdot 28 = 84$

Для третьей   команды выбираем трех девочек из 3 - x  , и*  одного  мальчика  из 7-ми

$\displaystyle C_3^3\cdot C _7^1 = 1 \cdot 7 = 7$


Общее число способов :

$C_3^1\cdot C _7^3 + C_3^2\cdot C _7^2 +C_3^3\cdot C _7^1 = 105 + 84 + 7 = 206$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику. У нас есть 3 девочки и 7 мальчиков, и мы должны составить команду из 4 человек, включая хотя бы одну девочку.

Есть два случая, которые мы должны учесть:

1. Одна девочка и три мальчика: Это можно сделать следующим образом: - Выбираем одну девочку из трех (3 способа). - Выбираем три мальчика из семи (7 способов). - Общее количество способов для этого случая: \(3 \times 7 = 21\) способ.

2. Две девочки и два мальчика: Это можно сделать следующим образом: - Выбираем две девочки из трех (3 способа). - Выбираем двух мальчиков из семи (7 способов). - Общее количество способов для этого случая: \(3 \times \binom{7}{2} = 3 \times 21 = 63\) способа.

Теперь сложим оба этих случая вместе, чтобы получить общее количество способов:

\[21 + 63 = 84.\]

Итак, есть 84 способа составить команду из четырех школьников, включая хотя бы одну девочку.