Question

Розв'язати рівняння: 5^(2x+1)+4*5^x=1 Дам 40 баллов

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

ж

Answer 2

Звісно, давайте розв'яжемо рівняння:

\[5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x = 1\]

Спробуємо використати заміну для полегшення розв'язку. Давайте введемо нову змінну, наприклад, \(u = 5^x\). Тоді рівняння можна переписати:

\[5 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x = 1\]

Тепер введемо нову змінну \(u = 5^x\), отримаємо:

\[5u^2 + 4u - 1 = 0\]

Тепер ми отримали квадратне рівняння відносно \(u\). Його можна розв'язати за допомогою квадратного рівняння. Для цього використаємо формулу дискримінанту:

\[D = b^2 - 4ac\]

де \(a = 5\), \(b = 4\), і \(c = -1\). Після підстановки отримаємо:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36\]

Дискримінант \(D\) додатній, тому у нас є два розв'язки для \(u\):

\[u_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{1}{5}\]

\[u_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{10} = -1\]

Тепер повертаємось до виразу для \(u\), який був введений раніше:

\[u = 5^x\]

Отже, ми отримали два значення для \(5^x\):

\[5^x = \frac{1}{5} \quad \text{або} \quad 5^x = -1\]

Другий випадок \(5^x = -1\) не має розв'язків для дійсних значень \(x\), оскільки будь-яке число, підняте до будь-якої ступені, завжди буде не менше 0.

Отже, маємо один розв'язок для \(x\):

\[5^x = \frac{1}{5}\]

Використовуючи властивості ступенів, можна записати:

\[x = \log_5{\frac{1}{5}} = -1\]

Отже, рівняння має єдиний розв'язок \(x = -1\). Якщо є ще які-небудь питання або якщо щось залишилося непорозумілим, будь ласка, дайте мені знати!