Question

80 БАЛЛОВ!!!!!!!!!!!!! ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!!!!!!!1)Обчислити: 2arcsin(-1)-4arcctg(-1);2)Розв'язати нерівність: ctgx>-1;3)Розв'язати рівняння: 5cos^2x-6cosx=0;4)Довести тотожність: tg(arcsin1/2+arccos0)=-√3;5)Розв'язати рівняння: sinx+sin3x/cosx=0;6)Знайти розв'язки нерівності: tg(4x+π/4)+1≤0;7)Розв'язати систему рівнянь:

Answer 1

1) 2arcsin(-1)-4arcctg(-1) = -2π/2-4(π - arcctg1) = -π - 4(π - π/4) = -π - 4(3π/4) = -π - 3π = -4π.

2) ctgx>-1;  πn < x < 3π/4 + πn, n∈Z.

3) 5cos^2x-6cosx=0; cosx(5cosx-6)=0;

cosx = 0                   або            5cosx-6 = 0.

x = π/2 + πn, n∈Z.                      cosx = 1,2 - немає розв'язків.

Відповідь: π/2 + πn, n∈Z.

4) tg(arcsin1/2+arccos0) = -√3.

tg(arcsin1/2+arccos0) = tg(π/6+π/2) = -сtg(π/6) = -√3, що й треба було довести.

5) sinx+sin3x/cosx=0. ОДЗ: cosx ≠ 0.

sinx+sin3x = 0; 2sin2xcosx = 0;

sinx = 0 або cosx = 0 - не задовольняє ОДЗ.

x = πn, n∈Z.

6) tg(4x+π/4)+1 ≤ 0;  tg(4x+π/4) ≤ -1; -π/2 + πn ≤ 4x+π/4 ≤ -π/4 + πn;

-π/2- π/4  + πn ≤ 4x ≤ -π/4 - π/4  + πn, n∈Z; -3π/4  + πn ≤ 4x ≤ -π/2 + πn, n∈Z;

-3π/8  + πn/4 ≤ x ≤ -π/8 + πn/4, n∈Z.

7) Розв'язати систему рівнянь: $\left \{ {{sinx-cosy=1;} \atop {sinx+cosy=0.}} \right.$ Додамо перше і друге рівняння системи: $\\2sinx=1;\,sinx=\frac{1}{2};\,x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,$ k∈Z.

Віднімемо друге і перше рівняння системи:

$\\2cosy=-1;\,cosy=-\frac{1}{2};\,y=$±$\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n$∈Z.

Відповідь: $x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,$ k∈Z; $y=$±$\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n$∈Z.

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання по черзі:

1. Обчислити: 2arcsin(-1) - 4arcctg(-1)

Почнемо з обчислення значень арксинуса та арккотангенса: arcsin(-1) = -π/2 (мінус півтори радіан) arcctg(-1) = π (півтори радіан)

Тепер можемо підставити їх у вираз і обчислити: 2arcsin(-1) - 4arcctg(-1) = 2 * (-π/2) - 4 * π = -π - 4π = -5π

2. Розв'язати нерівність: ctgx > -1

ctgx позначає котангенс іншими словами 1/tgx. Для того щоб знайти значення, пригадаємо властивості тригонометричних функцій на інтервалах.

tgx має період π, тобто tg(x) = tg(x + nπ) для всіх цілих n. Також, область значень tgx - це усі дійсні числа, окрім деяких точок, де tgx невизначений (ці точки - це x = (n + 1/2)π, де n - ціле число).

Значення tgx будуть менше -1 у проміжках (π/2 + nπ, 3π/2 + nπ), де n - ціле число.

Отже, розв'язок нерівності ctgx > -1: x належить об'єднанню проміжків ((π/2 + nπ, 3π/2 + nπ), де n - ціле число).

3. Розв'язати рівняння: 5cos^2x - 6cosx = 0

Спростимо рівняння: 5cos^2x - 6cosx = 0 cosx(5cosx - 6) = 0

Таким чином, маємо два рівняння: а) cosx = 0 б) 5cosx - 6 = 0

а) З рівняння cosx = 0, ми знаємо, що x = (π/2 + nπ) або x = (3π/2 + nπ), де n - ціле число.

б) З рівняння 5cosx - 6 = 0, знаходимо cosx = 6/5, що не має розв'язків у дійсних числах, оскільки косинус має значення в межах [-1, 1].

Таким чином, розв'язками рівняння є x = (π/2 + nπ) або x = (3π/2 + nπ), де n - ціле число.

4. Довести тотожність: tg(arcsin(1/2) + arccos(0)) = -√3

Спочатку знаходимо значення арксинуса та арккосинуса: arcsin(1/2) = π/6 arccos(0) = π/2

Тепер, використовуючи тригонометричні тотожності, ми можемо записати: tg(arcsin(1/2) + arccos(0)) = tg(π/6 + π/2)

Важлива тригонометрична тотожність: tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b))

Застосуємо цю тотожність: tg(π/6 + π/2) = (tg(π/6) + tg(π/2)) / (1 - tg(π/6) * tg(π/2))

Значення тангенсів відомі: tg(π/6) = 1/√3 та tg(π/2) = неіснуючий

Підставимо значення і отримаємо: tg(π/6 + π/2) = (1/√3 + неіснуючий) / (1 - 1/√3 * неіснуючий)

Тут зверніть увагу, що ми маємо неіснуючий в знаменнику, що робить вираз недійсним.

Отже, тотожність tg(arcsin(1/2) + arccos(0)) = -√3 не виконується.

Продовження наступного коментаря через обмеження кількості символів.