Question

Обчислити площу фігури, обмежену лініями y=x^2+2;y=4-x

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 2 та y = 4 - x, спочатку потрібно знайти точки перетину цих двох кривих. Ці точки перетину будуть визначати межі фігури.

Для цього поставимо рівняння y = x^2 + 2 рівним рівнянню y = 4 - x:

x^2 + 2 = 4 - x

Перенесемо все до одного боку:

x^2 + x - 2 = 0

Тепер застосуємо квадратне рівняння для знаходження значень x:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку a = 1, b = 1, c = -2:

x = (-1 ± √(1^2 - 4*1*(-2))) / 2*1

x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (-1 ± √9) / 2

x = (-1 ± 3) / 2

Таким чином, отримуємо два значення x: x1 = (-1 + 3) / 2 = 1 та x2 = (-1 - 3) / 2 = -2.

Тепер, знаючи значення x, можемо знайти відповідні значення y:

Для x1 = 1:

y1 = (1)^2 + 2 = 3

Для x2 = -2:

y2 = (-2)^2 + 2 = 6

Отже, отримали дві точки перетину: (1, 3) та (-2, 6).

Тепер, коли ми знаємо межі фігури, можемо обчислити площу. Площу фігури можна обчислити за допомогою інтегралу, використовуючи формулу:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a та b - межі фігури, f(x) - верхня функція (y = x^2 + 2), g(x) - нижня функція (y = 4 - x).

Знаючи точки перетину, ми можемо обчислити площу фігури:

S = ∫[-2, 1] ((x^2 + 2) - (4 - x)) dx

S = ∫[-2, 1] (x^2 + x - 2) dx

Проведемо інтегрування:

S = [x^3/3 + x^2/2 - 2x] [-2, 1]

S = ((1^3/3 + 1^2/2 - 2*1) - ((-2)^3/3 + (-2)^2/2 - 2*(-2)))

S = (1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 2 - 4)

S = (1/3 + 1/2 - 2) + (8/3 - 2 + 4)

S = (-11/6) + (10/3)

S = -11/6 + 20/6

S = 9/6

S = 3/2

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 2 та y = 4 - x, дорівнює 3/2.