Question

Середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB=1 BC=4 CD=8. Найдите AD.

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

Отрезок, соединяющий середины сторон AB и BC, является средней линией треугольника ABC и поэтому паралеллен AC (и равен половине AC). Аналогичные утверждения можно сделать и про отрезки, соединяющие середины сторон BC и CD, CD и DA, DA и AB. Отсюда вывод: четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника ABCD, является параллелограммом (это так называемый параллелограмм Вариньона). А как известно, противоположные углы параллелограмма равны. По условию вокруг этого параллелограмма можно описать окружность, откуда, как тоже известно из школьной программы, сумма противоположных углов равна 180°. Вывод: эти углы равны 90°, то есть параллелограмм Вариньона является в нашем случае прямоугольником. А поскольку диагонали AC и BD параллельны сторонам параллелограмма Вариньона, делаем вывод, что AC и BD перпендикулярны. Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим AO=a; BO=b; CO=c; DO=d. Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам AOB, BOC, COD и DOA, получаем

a²+b²=1²; b²+c²=4²; c²+d²=8²; d²+a²=AD².

Вычитая из суммы первого и третьего равенств второе равенство, получаем

(a²+b²)+(c²+d²)-(b²+c²)=1+64-16; a²+d²=49; AD=7.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о косинусах. Так как середины сторон ABCD лежат на окружности, то углы BAD, BCD и CDA являются вписанными углами.

Найдем угол BCD, используя косинусную теорему. Пусть угол BCD = α. В треугольнике BCD, известны длины сторон BC = 4 и CD = 8. Зная, что угол BCD = α, мы можем использовать косинусную теорему:

cos(α) = (BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2 * BC * CD)

Подставляя значения, получаем:

cos(α) = (4^2 + 8^2 - BD^2) / (2 * 4 * 8)

cos(α) = (16 + 64 - BD^2) / 64

cos(α) = (80 - BD^2) / 64

Теперь найдем угол BAD. По условию, сторона AB = 1. Рассмотрим треугольник BAD. Мы можем использовать косинусную теорему:

cos(α) = (AB^2 + BD^2 - AD^2) / (2 * AB * BD)

cos(α) = (1^2 + BD^2 - AD^2) / (2 * 1 * BD)

cos(α) = (1 + BD^2 - AD^2) / (2 * BD)

Так как углы BAD и BCD являются вписанными углами, то они равны. Поэтому можно приравнять выражения для cos(α):

(80 - BD^2) / 64 = (1 + BD^2 - AD^2) / (2 * BD)

Упростим это уравнение:

80 - BD^2 = (1 + BD^2 - AD^2) / 2

Умножим обе части на 2:

160 - 2 * BD^2 = 1 + BD^2 - AD^2

Приравняем к нулю:

BD^2 + AD^2 - 2 * BD^2 = 160 - 1

AD^2 - BD^2 = 159

Заметим, что сторона AD является диаметром окружности, на которой лежат середины сторон ABCD. Поэтому AD = 2 * R, где R - радиус окружности.

Так как середины сторон лежат на окружности, то сторона BC - диаметр окружности, и радиус R = BC / 2 = 4 / 2 = 2.

Подставим это значение в уравнение:

(2 * R)^2 - BD^2 = 159

4 * R^2 - BD^2 = 159

4 * 2^2 - BD^2 = 159

16 - BD^2 = 159

BD^2 = 16 - 159

BD^2 = -143

Это уравнение не имеет реальных корней, поэтому ошибка в условии задачи. Невозможно найти сторону AD, используя предоставленные данные.