Question

Arcsin(x/2)+2arccos(x)=pi​

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: -1 ≤ x ≤ 1.

Исследуем левую часть. Возьмём от неё производную:

$\left(\arcsin{\dfrac{x}{2}}+2\arccos{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}$

Исследуем знак производной:

$\dfrac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\vee 0\\\dfrac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\vee\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\\\dfrac{1}{4-x^2}\vee\dfrac{4}{1-x^2}$

Заметим, что обе дроби положительны на ОДЗ, значит, можно сравнивать обратные к ним, поменяв знак:

$4-x^2\wedge\dfrac{1-x^2}{4}\\\dfrac{15}{4}-\dfrac{5}{4}x^2\wedge 0$

На ОДЗ левая часть больше нуля, значит, производная будет всегда меньше нуля. Функция левой части — строго убывающая, каждое значение она принимает ровно один раз. Левая часть равна π при x = 0. Больше решений нет.

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + 2\arccos(x) = \pi \]

Для удобства обозначим \( y = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y + 2\arccos(x) = \pi \]

Теперь преобразуем второй член:

\[ \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{y}{2} \]

Подставим это выражение обратно в уравнение:

\[ y + 2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{y}{2}\right) = \pi \]

Раскроем скобки:

\[ y + \pi - y = \pi \]

Сократим одинаковые члены:

\[ \pi = \pi \]

Это тождественное уравнение, которое выполняется при любых значениях \( x \). Таким образом, исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.