Question

Докажите, что если 2a − 3b делится на 5, то a + b делится на 5.

Answer 1

Доказательство достаточно простое. Пусть a и b - целые числа. Тогда мы можем записать 2a − 3b в виде 5n, где n - целое число. Это означает, что 2a = 5n + 3b. Из этого следует, что a = (5n + 3b) / 2. Так как 5n + 3b делится на 5, то и a делится на 5. Таким образом, a + b также делится на 5.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что 2a - 3b делится на 5, но a + b не делится на 5.

То есть, существуют такие целые числа x и y, что: 2a - 3b = 5x (1) a + b = 5y (2)

Из уравнения (2) можно выразить a: a = 5y - b (3)

Подставим выражение для a из уравнения (3) в уравнение (1): 2(5y - b) - 3b = 5x 10y - 2b - 3b = 5x 10y - 5b = 5x 5(2y - b) = 5x

Таким образом, получаем, что 5 делит левую часть уравнения, а значит, должно делиться и правую часть уравнения. То есть, 5 должно делиться на 5x. Но это противоречит нашему предположению, что a + b не делится на 5.

Таким образом, наше предположение было неверным, и мы доказали, что если 2a - 3b делится на 5, то a + b также делится на 5.