Question

Докажи для любого целого числа n ,число 5/6*n+3/2*n^2+2/3*n^3 целое.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В начале заметим, что исходное выражение переписывается так, как показано ниже:

$\dfrac{5}{6}n+\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{2}{3}n^3=\dfrac{n}{6}(4n^2+9n+5)=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

Понятно, что $n(n+1)$ делится нацело на $2$ при любых целых $n$ (пусть $n$ четное, тогда утверждение верно; пусть $n$ нечетное, тогда $(n+1)$ четное и утверждение о делимости на $2$ снова верно).

Тогда осталось показать, что $n(n+1)(4n+5)$ делится нацело на $3$.

$n\;\vdots\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall n=.\,.\,.-6,\,-3,\,\,\,\,\;0,\,3,\,6,\,9\dots\\(n+1)\;\vdots\;3\;\;\;\;\;\forall n=.\,.\,.-7,\,-4,\,-1,\,2,\,5,\,8\dots\;\;\;\;\;\;(*)\\(4n+5)\;\vdots\;3\;\;\;\,\forall n=.\,.\,.-8,\,-5,\,-2,\,1,\,4,\,7\dots$

Факт того, что первая и вторая строчки делятся на $3$ при указанных $n$ очевиден.

Покажем, что при $n=3k+1,\;\forall k\in\mathbb{Z}$ выражение $(4n+5)\;\vdots\;3$.

Действительно:

$\dfrac{4(3k+1)+5}{3}=\dfrac{12k+9}{3}=4k+3$

Из записанного в $(*)$ хорошо видно, что $n(n+1)(4n+5)\;\vdots\;3\;\;\;\forall n\in\mathbb{Z}$.

(удобно читать снизу вверх от $-8$ до $-6$, затем от $-5$ до $-3$ и так далее)

То есть было показано, что $n(n+1)(4n+5)\;\vdots\;6$ для любого целого $n$.

А значит и исходное выражение есть целое число $\forall n\in\mathbb{Z}$.

Задание выполнено!

Answer 2

Конечно, давай рассмотрим это математическое утверждение для любого целого числа \(n\):

У нас есть выражение: \(5/6 \cdot n + 3/2 \cdot n^2 + 2/3 \cdot n^3\).

Чтобы доказать, что это выражение принимает целочисленное значение для любого целого числа \(n\), давай воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции При \(n = 0\): \[5/6 \cdot 0 + 3/2 \cdot 0^2 + 2/3 \cdot 0^3 = 0.\] Это выражение равно 0, что является целым числом.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение \(5/6 \cdot n + 3/2 \cdot n^2 + 2/3 \cdot n^3\) принимает целочисленное значение для некоторого целого числа \(n = k\). То есть: \[5/6 \cdot k + 3/2 \cdot k^2 + 2/3 \cdot k^3 = \text{целое число}\).

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что если утверждение верно для \(n = k\), то оно верно и для \(n = k + 1\).

Рассмотрим выражение при \(n = k + 1\): \[ \begin{align*} &5/6 \cdot (k+1) + 3/2 \cdot (k+1)^2 + 2/3 \cdot (k+1)^3 \\ &= 5/6 \cdot (k+1) + 3/2 \cdot (k^2 + 2k + 1) + 2/3 \cdot (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) \\ &= 5/6 \cdot k + 5/6 + 3/2 \cdot k^2 + 3k + 3/2 + 2/3 \cdot k^3 + 2k^2 + 2k + 2/3 \\ &= (5/6 \cdot k + 3/2 \cdot k^2 + 2/3 \cdot k^3) + (5/6 + 3/2 + 2/3) + (3k + 2k) \\ &= \text{(по предположению индукции - это целое число)} + \text{(это также целое число)} + 5k \\ &= \text{целое число}. \end{align*} \]

Итак, если утверждение верно для \(n = k\), оно верно и для \(n = k + 1\).

По принципу математической индукции, учитывая базу индукции и индукционный переход, можно сделать вывод, что выражение \(5/6 \cdot n + 3/2 \cdot n^2 + 2/3 \cdot n^3\) принимает целочисленное значение для любого целого числа \(n\).