Question

! Малая теорема Ферма! Все возможные остатки n^7 - n при деление на 42 В чем проблема. Я раскладываю на n^7 n n = 1 (mod 7) и n(n^6 - 1). Второе раскладываю на n^6 - 1 = 1 (mod 6) и n/6. Получается остатки все цифры от 0 до 5 включительно, но это не подходит. Помогите, пожалуйста, я не понимаю, где ошибка

Answer 1

Ответ:

Как ты уже правильно раскладываешь, мы имеем:

n^7 - n = n(n^6 -1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)(n^3 + 1)

П1)

Используем малую теорему Ферма для n, которые не делятся на 7:

n^(7-1) ≡ 1 (mod 7)

n^6 ≡ 1 (mod 7)

Тогда n^(7) - n ≡ 0 (mod 7) для всех n, которые не делятся на 7.

Теперь рассмотрим n, которые делятся на 7:

n^7 - n = n(n^6 - 1)

n^6 - 1 = (n^3)^2 - 1 = (n^3 + 1)(n^3 - 1)

Сначала рассмотрим n^3 - 1. Используем малую теорему Ферма для n, которые не делятся на 3:

n^(3-1) ≡ 1 (mod 3)

n^2 ≡ 1 (mod 3)

Тогда (n^3 - 1) ≡ (n^2 - 1) ≡ 0 (mod 3) для всех n, которые не делятся на 3.

Теперь рассмотрим n^3 + 1. Используем малую теорему Ферма для n, которые не делятся на 2:

n^(2-1) ≡ 1 (mod 2)

n ≡ 1 или -1 (mod 2)

Тогда, если n нечетное, то n^3 + 1 будет четное, а если n четное, то n^3 + 1 будет нечетное. Таким образом, для всех n, которые не делятся на 2, будет выполняться (n^3 + 1) ≡ 2 (mod 4).

Итак, мы имеем:

(n^3 - 1) ≡ 0 (mod 3) для всех n, которые не делятся на 3.

(n^3 + 1) ≡ 2 (mod 4) для всех n, которые не делятся на 2.

Используя китайскую теорему об остатках, мы можем найти все возможные остатки n^7 - n при делении на 42. Для этого нам нужно решить систему уравнений:

x ≡ 0 (mod 3)

x ≡ 2 (mod 4)

Решение этой системы - x ≡ 26 (mod 12).

Таким образом, все возможные остатки n^7 - n при делении на 42 равны 0 или 26.

Answer 2

Малая теорема Ферма и остатки при делении на 42

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число, а a не делится на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Это означает, что если мы возведем любое число a в степень p-1 и затем разделим полученный результат на p, остаток будет равен 1.

В вашем случае, вы ищете все возможные остатки при делении n^7 - n на 42. Вы пытаетесь разложить выражение на два множителя: n^7 - n = 1 (mod 7) и n(n^6 - 1). Затем вы разлагаете второе выражение на n^6 - 1 = 1 (mod 6) и n/6.

Однако, такой подход не дает вам полного списка остатков от 0 до 41, так как вы пропускаете некоторые возможные значения. Ваша ошибка заключается в том, что вы не учитываете все возможные делители числа 42.

Чтобы получить полный список остатков при делении n^7 - n на 42, вам нужно учитывать все делители числа 42, а не только 7 и 6. Число 42 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Вам нужно проверить каждый из этих делителей, чтобы получить полный список остатков.

Например, для делителя 2, мы можем заметить, что n^7 - n всегда будет четным числом, поскольку n и n^7 имеют одинаковую четность. Таким образом, остаток при делении n^7 - n на 42 будет равен 0 для всех значений n.

Аналогично, для делителя 3, мы можем заметить, что n^7 - n всегда будет кратно 3, поскольку n и n^7 имеют одинаковый остаток при делении на 3. Таким образом, остаток при делении n^7 - n на 42 будет равен 0 для всех значений n.

Продолжая этот подход для всех делителей числа 42, вы сможете получить полный список остатков при делении n^7 - n на 42.

Выводы

Ваша ошибка заключается в том, что вы не учитываете все делители числа 42 при разложении выражения n^7 - n. Чтобы получить полный список остатков, вам нужно учитывать все делители числа 42, а не только 7 и 6.