Question

551.° Через центр О кола, описаного навколо трикутни- ка ABC, проведено пряму, яка перпендикулярна до сторони АС і перетинає сторону AB у точці М. Доведіть, що АМ =МС

Answer 1

Відповідь:

Дано:

Коло з центром О описане навколо трикутника ABC. О є l, l ┴ АС, l ∩ АВ = М.

Довести: AM = МС.

Доведення:

Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться в точці перетину

серединних перпендикулярів.

Якщо через центр кола проведена пряма l, яка перпендикулярна сторонi АС,

тоді N - точка перетину прямої l i сторони АС, буде серединою сторони AC

i тоді MN - медіана.

Якщо MN - висота i медіана, тоді ∆АМС - рівнобедрений, AM = МС.

Answer 2

Для доведення того, що AM = MC, можна використовувати теорему про кут біля центрального кута.

Позначимо центр кола, описаного навколо трикутника ABC, як O. Отже, OA, OB і OC - радіуси цього кола.

Маємо AM, яка є висотою трикутника ABC, опущеною з вершини A на сторону BC. Також, M - точка перетину цієї висоти з прямою, проведеною через центр кола і перпендикулярну до сторони AC.

Також маємо, що OM - радіус кола, адже будь-який радіус кола, проведений до точки дотику зі стороною трикутника, перпендикулярний до цієї сторони. Отже, OM ⊥ AC.

Також враховуємо, що OA ⊥ AB, оскільки радіус кола завжди перпендикулярний до дотиканої точки на колі.

Отже, ми маємо два перпендикулярних від OA і OM до сторін трикутника ABC. Це означає, що OAM - це прямий кут.

Також, оскільки OA = OM (радіус кола), то ми можемо сказати, що трикутники OAM і OMA рівні за гіпотенузою і катетами. Таким чином, кут OMA рівний куту OAM.

Тепер розглянемо трикутник AMC. У ньому AM = MO (бо вони обидві рівні OA) і кути OMA і OAM рівні за попереднім висновком.

Отже, за принципом взаємної рівності трикутники OMA і AMC рівні за гіпотенузою і катетами, а тому AM = MC.

Таким чином, доведено, що AM = MC.