Question

Скількома нулями закінчується добуток усiх натуральних чисел: а) до 30 включно; б) до 100 включно?будьласка обґрунтуйте відповідь

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Произведение чисел 2 на 5 заканчивается на ноль. От этого и будем отталкиваться.

Для начала возьмём числа, кратные 5 (так как с ними будет проще, чем с двойками):

а) 5, 10, 15, 20, 25 (здесь 25=5·5), 30 ⇒ всего шесть чисел плюс число 25, которое имеет произведение из двух пятёрок (5·5=25) ⇒ итого: 6+1=7, а значит, произведение всех натуральных чисел до 30 включительно будет заканчиваться 7-ю нулями.

Ответ: 7 нулей.

б) 5, 10, 15, 20, 25 (здесь 25=5·5), 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 100 ⇒ всего 19 чисел плюс числа 25 (5·5=25), 50 (5·5·2=50), 75 (5·5·3=75), 100 (5·5·4=100) ⇒ итого: 19+4=23, а значит, произведение всех натуральных чисел до 100 включительно будет заканчиваться 23-мя нулями.

Ответ: 23 нуля.

Answer 2

Для того чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим, сколько нулей содержится в конце произведения всех натуральных чисел до определенного предела.

а) До 30 включительно:

Рассмотрим, какие числа в диапазоне от 1 до 30 содержат множители 2 и 5, так как пары 2 и 5 образуют 10, который дает ноль в конце числа.

Числа, содержащие множитель 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Числа, содержащие множитель 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Важно отметить, что у числа 10 есть оба множителя 2 и 5, поэтому каждое умножение на 10 добавляет ноль к концу числа.

Посчитаем количество нулей в конце произведения всех чисел до 30. У нас есть 14 чисел, содержащих множитель 2, и 6 чисел, содержащих множитель 5, но не забудем, что числа, кратные 10, вносят два множителя 5 и 2. Таким образом, у нас есть 6 нулей от чисел, содержащих множитель 5, и 14 нулей от чисел, содержащих множитель 2, однако пары 10 вносят по два множителя каждая, то есть еще 2 нуля.

Суммируя это, получаем: 6 (от множителя 5) + 14 (от множителя 2) + 2 (от чисел, кратных 10) = 22 нуля в конце произведения всех чисел от 1 до 30.

б) До 100 включительно:

Аналогично проведем подсчет для чисел от 1 до 100.

Числа, содержащие множитель 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 98, 100. Числа, содержащие множитель 5: 5, 10, 15, ..., 95, 100.

Посчитаем количество нулей в конце произведения всех чисел до 100. Есть 50 чисел, содержащих множитель 2, и 20 чисел, содержащих множитель 5. Каждая пара чисел, кратных 10, добавляет по два множителя 5 и 2, что даёт дополнительно 20 нулей.

Суммируя это, получаем: 20 (от множителя 5) + 50 (от множителя 2) + 20 (от чисел, кратных 10) = 90 нулей в конце произведения всех чисел от 1 до 100.

Таким образом: а) Произведение всех натуральных чисел до 30 включительно заканчивается 22 нулями. б) Произведение всех натуральных чисел до 100 включительно заканчивается 90 нулями.