Question

Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел:1) від 1 до 10 включно;2) від 15 до 24 включно;3) від 10 до 30 включно;4) від 1 до 100 включно?​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Нули на конце произведения получаются от умножений 2*5 или от 10.

Двоек достаточно много - каждое второе число четное.

Пятерок намного меньше. Поэтому количество 0 равно количеству 5.

1) 1*2*3*...*10. Здесь 2 пятерки, в числах 5 и 10, поэтому 2 нуля.

2) 15*16*17*...*24. Здесь тоже 2 пятерки, в 15 и 20, поэтому 2 нуля.

3) 10*11*12*...*30. Здесь 6 пятерок, в 10, 15, 20, 25, 30,

Обратите внимание - в числе 25 = 5*5 - две пятерки!

Произведение кончается на 6 нулей.

4) 1*2*3*...*100. Здесь много пятерок. Посчитаем:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100

В числах 25, 50, 75 и 100 - по две пятерки в каждом!

Всего 24 пятерки. Произведение кончается на 24 нуля.

Answer 2

1) Від 1 до 10 включно ми маємо наступний добуток: 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3 628 800. Щоб знайти кількість нулів, необхідно розкласти це число на множники простих чисел. Оскільки кожен нуль в числі відповідає парі чисел 2 та 5, необхідно знайти, скільки пар "2-5" ми можемо утворити. На добуток у нас є більше пар чисел 2 та 5, ніж пари чисел 5, тому максимальна кількість нулів, яку можемо утворити, визначається набором чисел 2. У числі 3 628 800 взагалі є 8 простих чисел 2, тому добуток натуральних чисел від 1 до 10 включно закінчується 8 нулями.

2) Від 15 до 24 ми маємо добуток: 15*16*17*18*19*20*21*22*23*24 = 61 917 364 480 000. Аналогічно до попереднього випадку, розкладаємо це число на множники простих чисел (2 та 5). У числі 61 917 364 480 000 є 13 чисел 2, тому добуток натуральних чисел від 15 до 24 включно закінчується 13 нулями.

3) Від 10 до 30 маємо добуток: 10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25*26*27*28*29*30 = 265 252 859 812 191 058 792 400 000. В цьому числі є 13 чисел 2 та 6 чисел 5, тому добуток натуральних чисел від 10 до 30 включно закінчується 6 нулями.

4) Від 1 до 100 маємо добуток: 1*2*3*4*5*...*98*99*100. Провести такий розклад може зайняти багато часу, тому скористаємося властивостями кількості нулів в факторіалах чисел. Загальна формула для обчислення кількості нулів в кінці факторіала числа n (позначимо як zeros(n)) - це: zeros(n) = floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ...

У нашому випадку, ми шукаємо zeros(100). Підставимо значення і отримаємо: zeros(100) = floor(100/5) + floor(100/25) + floor(100/125) + ... = 20 + 4 + 0 + ... = 24.

Отже, добуток натуральних чисел від 1 до 100 включно закінчується 24 нулями.