Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x^3-2x^2+x+5

Answer 1

Ответ:

f(x) возрастает при $x\in\bigg(-\infty;\frac{1}{3}\bigg]$или $\bigg[1;+\infty\bigg)$ , а убывает при $x\in\bigg[ \frac{1}{3};1\bigg]$

Пошаговое объяснение:

f(x) = x³ - 2x² + x + 5

Находим производную:

$f'(x) = 3x {}^{3 - 1} - 2 \cdot2x {}^{2 - 1} + x {}^{1 - 1} + 0 = 3x {}^{2} - 4x + 1$

Находим нули производной:

$3x {}^{2} - 4x + 1 = 0 \\ D = ( - 4) {}^{2} - 4 \cdot3 \cdot1 = 16 - 12 = 4 \\ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4} }{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \\ \rightarrow \boldsymbol{x_1 = 1 \: \: \: \: \: \: x_2 = \frac{1}{3} }$

Переходим к методу интервалов(см.фото).

Определим знаки производной:

Из промежутка $\bigg(-\infty ;\frac{1}{3}\bigg]$ возьмём любое число , допустим 0 . Подставим в место х:

$3\cdot 0^2-4\cdot 0+1=1$ , в этом промежутке производная положительная.

Из промежутка $\bigg[ \frac{1}{3} ;1\bigg]$ возьмём 0,5. Подставим в место х:

$3\cdot 0,5^2-4\cdot 0,5+1= -0,25$ , тут производная отрицательная.

Из промежутка $[1;+\infty)$ возьмём 2 . Подставим :

$3\cdot 2^2-4\cdot 2 +1 =12-8+1=5$ , производная положительная.

• Если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала, то функция возрастает на этом интервале; если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала, то функция убывает на этом интервале.

В итоге f(x) возрастает при $x\in\bigg(-\infty;\frac{1}{3}\bigg]$ или $\bigg[1;+\infty\bigg)$ , а убывает при $x\in\bigg[ \frac{1}{3};1\bigg]$

Answer 2

Для определения интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5, мы должны проанализировать производную этой функции.

Нахождение производной функции

Первым шагом является нахождение производной функции f(x). Для этого возьмем производную от каждого члена функции по отдельности, используя правила дифференцирования:

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Нахождение критических точек

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, мы должны найти критические точки функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Решая это уравнение, мы получаем два значения x:

x1 = 1 x2 = 1/3

Интервалы возрастания и убывания

Теперь, зная критические точки, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции f(x). Для этого мы можем построить таблицу знаков, используя критические точки и значения между ними:

x < 1/3        : f'(x) < 0        : f(x) убывает
1/3 < x < 1   : f'(x) > 0        : f(x) возрастает
x > 1         : f'(x) > 0        : f(x) возрастает

Таким образом, функция f(x) убывает на интервале (-∞, 1/3) и возрастает на интервалах (1/3, 1) и (1, +∞).

График функции

Для наглядности, давайте построим график функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5, чтобы увидеть изменение функции на различных интервалах возрастания и убывания.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = x3 - 2*x2 + x + 5

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5')
plt.grid(True)
plt.show()


На графике выше видно, что функция убывает на интервале (-∞, 1/3) и возрастает на интервалах (1/3, 1) и (1, +∞), что соответствует нашим предыдущим результатам.