Question

Определите количество способов выбрать 25различных целых чисел чисел от 1до 50так ,чтобы для любых выбранных чисел одно не было делителем другого?

Answer 1

Ответ:

Для выбора 25 различных целых чисел от 1 до 50 так, чтобы никакое не было делителем другого, мы можем использовать метод перебора и применить следующий алгоритм:

   Выберем первое число любым способом из 50 возможных чисел.

   Из оставшихся чисел выберем второе число, которое не делится на первое выбранное число.

   Из оставшихся чисел выберем третье число, которое не делится ни на первое, ни на второе выбранные числа.

   Продолжим выбирать числа, исключая каждый раз те, которые делятся на любое из уже выбранных чисел.

   Продолжим этот процесс до тех пор, пока мы не выберем 25 чисел.

Поскольку мы выбираем 25 различных чисел, каждый раз количество оставшихся возможных чисел для выбора будет уменьшаться. Таким образом, общее количество способов выбрать 25 чисел таким образом будет равно:

$$50 \cdot (50-1) \cdot (50-1-2) \cdot \ldots \cdot (50-1-2-\ldots-23)$$

Что равно:

$$50 \cdot 49 \cdot 47 \cdot \ldots \cdot 28$$

Для решения этого выражения мы можем воспользоваться факториалами:

$$\frac{50!}{(25!) \cdot 2^{24}}$$

Таким образом, количество способов выбрать 25 различных целых чисел от 1 до 50 так, чтобы для любых выбранных чисел одно не было делителем другого, равно:

$$\frac{50!}{(25!) \cdot 2^{24}} \approx 1.264 \cdot 10^{17}$$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Определить количество способов выбрать 25 различных целых чисел от 1 до 50 так, чтобы для любых двух выбранных чисел одно не было делителем другого, можно с помощью следующего рассуждения:

- Сначала заметим, что если мы выберем какое-то число, то мы не сможем выбрать ни его кратные, ни его делители. Например, если мы выберем 12, то мы не сможем выбрать 2, 3, 4, 6, 24, 36 и т.д. - Следовательно, мы можем выбрать только те числа, которые не имеют общих делителей с уже выбранными числами. Такие числа называются взаимно простыми. - Для удобства отсортируем числа от 1 до 50 по возрастанию и будем выбирать их по очереди, начиная с наименьшего. Тогда мы можем выбрать 1, так как оно взаимно просто со всеми числами. После этого мы не сможем выбрать 2, так как оно делитель 1. Аналогично, мы не сможем выбрать 3, 4, 5, 6 и т.д., пока не дойдем до 7. Тогда мы можем выбрать 7, так как оно взаимно просто с 1. После этого мы не сможем выбрать 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48 и 49, так как они все кратны 1 или 7. Останутся только 11, 13, 17, 19, 23, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 46, 47 и 50. Из них мы можем выбрать любые 23 числа, так как они все взаимно просты с 1 и 7. Тогда общее количество способов выбрать 25 чисел равно C(23,23) = 1, где C(n,k) - это число сочетаний из n по k.

Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи. Если вы хотите узнать больше о комбинаторике, вы можете посмотреть эти сайты: [Комбинаторика - правила, формулы и примеры с решением](https://www.evkova.org/kombinatorika), [Задачка Определите количество спо ... не было делителем другого](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/expr/2d7c56b4be15d561908250ae7e16ddb9/), [Математика: Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона](https://www.matznanie.ru/xbookM0001/book/part-050/page.htm).