Question

В классе 33 ученика. 28 из них знают, что такое простое число, 22 знают, что такое факториал, и 17 знают, что такое полином. Докажите что в классе найдётся ученик, который знает все три этих понятия.

Answer 1

Ответ:

Для решения данной задачи можно воспользоваться принципом Дирихле.

Возьмем любых 2 ученика из класса. Рассмотрим 3 возможных случая:

Оба ученика знают, что такое простое число.

Оба ученика знают, что такое факториал.

Оба ученика знают, что такое полином.

Так как всего 28 учеников знают, что такое простое число, то в первом случае не может быть больше, чем 28 учеников, знающих это понятие.

Аналогично, так как всего 22 ученика знают, что такое факториал, то во втором случае не может быть больше, чем 22 ученика, знающих это понятие.

Также, так как всего 17 учеников знают, что такое полином, то в третьем случае не может быть больше, чем 17 учеников, знающих это понятие.

Всего мы рассмотрели 3 возможных случая, и по принципу Дирихле, хотя бы в одном из этих случаев есть ученик, который знает оба понятия. Таким образом, в классе найдется ученик, который знает и простые числа, и факториал, и полином.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом математической логики, чтобы доказать, что существует ученик, который знает все три понятия: простое число, факториал и полином.

Обозначим множество учеников, знающих, что такое простое число, как A. Множество учеников, знающих, что такое факториал, обозначим как B, а множество учеников, знающих, что такое полином, обозначим как C.

Из условия задачи у нас есть следующие данные: - |A| = 28 (28 учеников знают, что такое простое число). - |B| = 22 (22 ученика знают, что такое факториал). - |C| = 17 (17 учеников знают, что такое полином).

Мы знаем, что всего в классе 33 ученика. Мы также можем воспользоваться неравенством включения-исключения:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Где: - \( |A \cup B \cup C| \) - общее количество учеников, которые знают хотя бы одно из понятий. - \( |A \cap B| \) - количество учеников, которые знают и простое число, и факториал. - \( |A \cap C| \) - количество учеников, которые знают и простое число, и полином. - \( |B \cap C| \) - количество учеников, которые знают и факториал, и полином. - \( |A \cap B \cap C| \) - количество учеников, которые знают все три понятия.

Мы знаем, что \( |A \cup B \cup C| \leq 33 \) (всего учеников в классе). Теперь подставим известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 28 + 22 + 17 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \leq 33 \]

Теперь давайте оценим минимальное значение \( |A \cap B \cap C| \). Если каждый из 28 учеников, знающих, что такое простое число (A), также знает факториал (B), то \( |A \cap B| = 28 \). То же самое можно сказать и о \( |A \cap C| \). Таким образом, \( |A \cap B \cap C| \geq 28 \).

Подставим это в наше уравнение:

\[ 28 + 22 + 17 - 28 - 28 - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \leq 33 \]

Упростим:

\[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| \geq -6 \]

Таким образом, у нас есть неравенство, где разность множеств \( |B \cap C| - |A \cap B \cap C| \) неотрицательна. Это означает, что хотя бы один ученик (если не больше) должен знать все три понятия. Таким образом, в классе найдется ученик, который знает простое число, факториал и полином.