Question

А) На продолжении стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD найдите такую точкуO, чтобы площадь ABCD равнялась площади треугольника ABO. Не забудьте указать все возможные решения задачи. б) Как, используя результат пункта (а), превратить любой выпуклыймногоугольник в равновеликий ему, но имеющий на одну сторону меньше?

Answer 1

начну с б)
чтобы уменьшить количество сторон на одну,
нужно провести диагональ (отсечь треугольник),
и через вершину, которую хотим убрать, провести прямую, параллельную
построенной диагонали, до пересечения с продолжением стороны...
диагональ будет общим основанием двух треугольников
(отсеченного и нового, который его должен заменить))),
а высоты у них будут одинаковые, т.е. площади будут равны...
-------------------------------------------------------------------------------------------------
а) здесь два варианта и они разные...
в первом случае, когда 4-угольник и 3-угольник имеют общую площадь,
построение описано выше...
треугольники с общим основанием (АС) будут иметь равные площади,
если их высоты (проведенные к АС) равны))
а второй случай легко получается из известного факта:
медиана разбивает треугольник на два равновеликих)))
осталось отложить на продолжении стороны ВС (в другую сторону)))
уже найденное расстояние ВО
ВО = ВО1, высоты у этих треугольников равны,
основания равны по построению, площади равны)))
----------------------------------------------------------------------------------
просто так (для иллюстрации)))
если дан параллелограмм, чаще используем утверждение,
что параллелограмм диагональю разбивается на два равных
(и равновеликих) треугольника S(ABD) = S(СBD)
и реже обращаем внимание на то, что S(ABD) = S(ACD)
это ведь половинки одного и того же параллелограмма...
но сами треугольники не равны, они только равновеликие...

Answer 2

Task (а): Finding the point O in a convex quadrilateral ABCD

To find a point O on the extension of side BC of a convex quadrilateral ABCD such that the area of ABCD is equal to the area of triangle ABO, we can use the following approach:

1. Draw a line segment AB. 2. Construct a line segment AO from point A to a point O on the extension of side BC. 3. Find the midpoint M of side AB. 4. Draw a line segment MO. 5. Extend side AD to intersect line segment MO at point N. 6. Connect points B and N. 7. The point O where line segment AO intersects the extension of side BC is the desired point.

It is important to note that there may be multiple solutions to this problem. The above method provides one possible solution.

Task (b): Transforming a convex polygon to a smaller polygon with equal area

Using the result from task (a), we can transform any convex polygon into a smaller polygon with equal area by following these steps:

1. Start with a convex polygon. 2. Choose one side of the polygon and find the midpoint of that side. 3. Draw a line segment from the midpoint to a point O on the extension of that side, following the method described in task (a). 4. Extend the remaining sides of the polygon to intersect the line segment MO. 5. Connect the points of intersection to form a new polygon. 6. The new polygon will have one fewer side than the original polygon but will have the same area.

Again, it is important to note that there may be multiple solutions to this problem. The above method provides one possible solution.

Please let me know if you have any further questions or if there's anything else I can assist you with!