Question

Є замок на під`їзд, де код входу вводиться одночасним натисканням на кілька кнопок. Всього кнопок є 10 з цифрами від 0 до 9. Скільки існує варіантів коду, якщо відомо, що треба натиснути 3 кнопки. Скільки існує варіантів коду, якщо не відомо, скільки кнопок треба натиснути?

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:
• За допомогою формули комбінації можна розрахувати кількість варіантів коду, коли потрібно натиснути рівно 3 кнопки.

Якщо вам потрібно натиснути рівно 3 кнопки, у вас буде 120 різних кодів на вибір.  Це тому, що C(10,3) можна обчислити за формулою 10!/(3!*(10-3)!), яка дорівнює 120.

• Використовуючи формулу для суми арифметичної прогресії, можна обчислити кількість варіантів, доступних для натискання кнопок.  Необхідно знайти та підсумувати всі можливі комбінації для величин від 1 до 10 кнопок, щоб визначити загальну суму.

C(10,2) + C(10,1) призводить до S, що дорівнює C(10,8) у поєднанні з C(10,3) і C(10,7).  
Також до S входить C(10,9) разом із C(10,4), а також C(10,6) + C(10,5) і, нарешті, C(10,10).

Якщо ми не впевнені, скільки кнопок натискати, потенціал для 1023 унікальних параметрів коду розкривається за допомогою обчислень, які призводять до сумарного значення.

Answer 2

Відповідаю детально. Є замок на під'їзд, де код входу вводиться одночасним натисканням на кілька кнопок. Всього кнопок є 10 з цифрами від 0 до 9. Скільки існує варіантів коду, якщо відомо, що треба натиснути 3 кнопки. Скільки існує варіантів коду, якщо не відомо, скільки кнопок треба натиснути?

Якщо відомо, що треба натиснути 3 кнопки, то кількість варіантів коду дорівнює числу комбінацій з 10 по 3, яке обчислюється за формулою $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

Якщо не відомо, скільки кнопок треба натиснути, то кількість варіантів коду дорівнює сумі чисел комбінацій з 10 по 1, з 10 по 2, ..., з 10 по 10, яка обчислюється за формулою $$\sum_{k=1}^{10} C_{10}^k = 2^{10} - 1 = 1023$$

Мінус один, тому що випадок, коли не натиснуто жодної кнопки, не є варіантом коду.