Question

СРОЧНО!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 5. На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число n, написанное на экране, в 2n–1, а на другую — в 2n+1. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране: а) целое; б) произвольное.​

Answer 1

Стоп, а у компьютера есть пульт? ?_?

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности:

а) Пусть исходное число, которое горело на экране, равно n. Вася нажимал на кнопки сто раз в некотором порядке. Обозначим количество нажатий на первую кнопку как a, а количество нажатий на вторую кнопку как b. После всех нажатий число на экране стало равно m.

Для первой кнопки, каждое нажатие увеличивает число в два раза и вычитает единицу. Поэтому, если Вася нажал на первую кнопку a раз, то число на экране станет равным 2^a * n - 2^a + 1.

Для второй кнопки, каждое нажатие также увеличивает число в два раза, но при этом добавляет единицу. Если Вася нажал на вторую кнопку b раз, то число на экране станет равным 2^b * n + 2^b - 1.

Теперь, если мы знаем исходное число n и число m, которое горит на экране после всех нажатий, мы можем решить следующую систему уравнений:

2^a * n - 2^a + 1 = m 2^b * n + 2^b - 1 = m

Выразим n из первого уравнения: 2^a * n = m + 2^a - 1 n = (m + 2^a - 1) / 2^a

Подставим полученное значение n во второе уравнение: 2^b * ((m + 2^a - 1) / 2^a) + 2^b - 1 = m 2^b * (m + 2^a - 1) + 2^b - 1 = m * 2^a 2^b * m + 2^b * 2^a - 2^b + 2^b - 1 = m * 2^a 2^b * m + 2^b * 2^a - 1 = m * 2^a

Таким образом, мы получили одно уравнение, в котором присутствуют только известные значения m, a и b. Отсюда можно решить уравнение относительно m и проверить, совпадает ли найденное значение с тем числом, которое горит на экране. Если они совпадают, то оператор сможет определить порядок нажатий кнопок Васей.

б) В случае произвольного исходного числа n, аналогично можно записать систему уравнений:

2^a * n - 2^a + 1 = m 2^b * n + 2^b - 1 = m

Мы получим два уравнения с двумя неизвестными. Если у нас есть два независимых уравнения с двумя неизвестными, мы можем решить эту систему и определить значения a и b. Таким образом, оператор сможет определить порядок нажатий кнопок Васей, даже если исходное число произвольное.

Таким образом, оператор сможет определить порядок нажатий кнопок Васей как в случае, когда исходное число целое (пункт а), так и в случае произвольного исходного числа (пункт б).