Question

Исследуйте функцию f(x)=3x^2-x^3 и постройте ее график

Answer 1

F(x)=3x²-x³
D(y)∈(-∞;∞)
f(-x)=3x²+x³ ни четная и ни нечетная
x²(3-x)=0
x=0  x=3
(0;0);(3;0) точки пересечения с осями
y`=6x-3x²=3x(2-x)=0
x=0  x=2
               _                +                    _
------------------(0)---------------(2)------------------
убыв              min возр      max    убыв
ymin=y(0)=0
ymax=y(2)=12-8=4
y``=6-6x=0
x=1 y(1)=3-1=2  (1;2)-точка перегиба
                   +                        _
----------------------(1)-------------------------
вогн вниз                выпук вверх

Answer 2

Функция f(x) = 3x^2 - x^3 представляет собой кубическую функцию, которая имеет параболическую форму. Для того чтобы исследовать эту функцию и построить ее график, мы можем применить методы анализа функций, такие как нахождение экстремумов, точек перегиба, исследование поведения функции при x -> +∞ и x -> -∞, и т.д.

Для начала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 6x - 3x^2

Затем найдем точки экстремума, приравнивая производную к нулю и решая уравнение f'(x) = 0:

6x - 3x^2 = 0 3x(2 - x) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 2.

Теперь найдем вторую производную функции f(x), чтобы определить тип экстремумов:

f''(x) = 6 - 6x

Подставим найденные точки экстремума и найдем значение второй производной:

f''(0) = 6 > 0 (минимум) f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0 (максимум)

Теперь найдем точки перегиба, приравнивая вторую производную к нулю и решая уравнение f''(x) = 0:

6 - 6x = 0 6x = 6 x = 1

Теперь мы можем построить график функции f(x). Построение графика позволит нам визуально увидеть все найденные точки экстремума, точки перегиба и общее поведение функции.

График функции f(x) = 3x^2 - x^3 будет иметь форму параболы, которая открывается вниз. Точки экстремума будут представлять собой локальные минимум и максимум, а точка перегиба будет указывать на изменение выпуклости функции.

Построив график функции f(x), мы сможем наглядно увидеть ее поведение и особенности, которые мы нашли при анализе функции.