Question

3. Дано координати трьох вершин прямокутника АВСД: А(-1;-3); С(5;1) та Д(5;-3). 1) Накресліть цей прямокутник. 2) Знайдіть координати вершини В. 3) Знайдіть координати точки перетину діагоналей прямокутника. 4) Обчисліть площу та периметр прямокутника.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1) Накреслимо прямокутник з використанням заданих координат вершин.

Для цього візьмемо координати вершин А(-1,-3), С(5,1) і Д(5,-3) і з'єднаємо їх лініями відповідно: А-С, С-Д, Д-А і А-Д. Отримаємо прямокутник ABCD.

2) Щоб знайти координати вершини В, можемо скористатися формулами прямокутного трикутника.

За умовами задачі, АВ є стороною прямокутника, а СД являється його діагоналлю. Знаючи координати вершин А (-1, -3) і С (5, 1), можемо знайти довжину сторони АВ за допомогою формули:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Підставляючи в цю формулу координати А (-1, -3) і С (5, 1), отримаємо:

AB = √((5 - (-1))² + (1 - (-3))²) = √((6)² + (4)²) = √(36 + 16) = √52

Тобто, довжина сторони АВ дорівнює √52.

Також за умовою задачі, CD є діагоналлю прямокутника. А так як діагоналі прямокутника є взаємно перпендикулярними, то можемо скористатися цим фактом і з'ясувати, що СВ являється також стороною другого прямокутного трикутника з діагоналлю СД.

Знаючи координати вершин С (5, 1) і Д (5, -3), можемо знайти довжину сторони СВ:

CV = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Підставляючи в цю формулу координати С (5, 1) і Д (5, -3), отримаємо:

CV = √((5 - 5)² + (-3 - 1)²) = √((0)² + (-4)²) = √(0 + 16) = √16 = 4

Тобто, довжина сторони СВ дорівнює 4.

Знаючи довжину сторін АВ (√52) і СВ (4), можемо знайти координати вершини В, яка знаходиться на відрізку АС і знаходиться на тій же відстані від вершини С, як і вершина А. Таким чином, АВСВ буде прямокутник.

Координати вершини В можна знайти за допомогою формул для середини відрізка:

xВ = (xА + xC) / 2

yВ = (yА + yС) / 2

Підставляючи в ці формули координати вершин А (-1, -3) і С (5, 1), отримаємо:

xВ = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2

yВ = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1

Тобто, координати вершини В дорівнюють (2, -1).

3) Щоб знайти координати точки перетину діагоналей прямокутника, можемо використати систему рівнянь.

За умовами задачі, діагоналі CD і АВ перетинаються в точці Х. Також, діагоналі AC і BD перетинаються в точці У. Ми знаємо координати вершин А (-1, -3), C (5, 1) і D (5, -3).

Спочатку знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точки А і С:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Підставляючи координати А (-1, -3) і С (5, 1) в це рівняння:

y - (-3) = (1 - (-3)) / (5 - (-1)) * (x - (-1))

y + 3 = 4/6 * (x + 1)

y + 3 = 2/3 * (x + 1)

3y + 9 = 2x + 2

2x - 3y = -7 ---> Рівняння прямої AC

Тепер знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точки D і B:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Підставляючи координати D (5, -3) і B (2, -1) в це рівняння:

y - (-3) = (-1 - (-3)) / (2 - 5) * (x - 5)

y + 3 = 2/(-3) * (x - 5)

y + 3 = -(2/3) * (x - 5)

3y + 9 = -2x + 10

2x + 3y = 1 ---> Рівняння прямої BD

Щоб знайти точку перетину діагоналей прямокутника, маємо вирішити систему рівнянь:

2x - 3y = -7 2x + 3y = 1

Шляхом додавання цих двох рівнянь отримуємо:

(2x - 3y) + (2x + 3y) = -7 + 1

4x = -6

x = -6 / 4 = -3/2

Підставляючи значення x в одне з рівнянь, отримуємо:

2(-3/2) + 3y = 1

-3 + 3y = 1

3y = 4

y = 4 / 3

Тобто, координати точки перетину діагоналей прямокутника дорівнюють (-3/2, 4/3).

4) Щоб обчислити площу прямокутника, можемо скористатися формулою:

S = a * b

де а і b - довжини сторін прямокутника.

За умовами задачі, знаємо, що довжина сторони АВ дорівнює √52, а довжина сторони