Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініямиy= x²-4x+4, y=4-x;​

Answer 1

Ответ:

вот так................

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими \(y = x^2 - 4x + 4\) та \(y = 4 - x\), спочатку потрібно знайти точки їх перетину. Ці точки будуть визначати межі інтегрування для обчислення площі.

Спільні точки двох кривих знаходяться, прирівнюючи їхні вирази:

\[ x^2 - 4x + 4 = 4 - x \]

Розкладемо усе у канонічну форму та знайдемо корені:

\[ x^2 - 3x = 0 \]

\[ x(x - 3) = 0 \]

Звідси отримуємо два корені: \(x = 0\) та \(x = 3\).

Тепер, щоб знайти відповідні значення y, підставимо ці x у одне з рівнянь (наприклад, у \(y = x^2 - 4x + 4\)):

1. При \(x = 0\): \(y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 4 = 4\) 2. При \(x = 3\): \(y = 3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = 1\)

Отже, ми маємо дві точки перетину: (0, 4) та (3, 1).

Тепер можемо обчислити площу фігури за допомогою інтегралу:

\[ S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx \]

де \(f(x)\) та \(g(x)\) - це функції, які визначають верхню та нижню межі фігури.

У нашому випадку: - \(f(x) = x^2 - 4x + 4\) - \(g(x) = 4 - x\) - \(a = 0\) (точка перетину) - \(b = 3\) (точка перетину)

Підставимо це у вираз:

\[ S = \int_{0}^{3} [(x^2 - 4x + 4) - (4 - x)] \, dx \]

\[ S = \int_{0}^{3} (x^2 - 3x + 5) \, dx \]

Інтегруємо відносно x:

\[ S = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5x \Big|_{0}^{3} \]

\[ S = \left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 5(3)\right) - \left(\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 5(0)\right) \]

\[ S = (9 - \frac{27}{2} + 15) - 0 \]

\[ S = \frac{1}{2} \]

Отже, площа фігури обмеженої кривими \(y = x^2 - 4x + 4\) та \(y = 4 - x\) дорівнює \( \frac{1}{2} \).