Question

Встановити чи визначає задане рівняння параболу x^2+6x+7-4y=0

Answer 1

Для визначення того, чи є рівняння параболою, потрібно перевірити, чи можна перетворити його до стандартної форми рівняння параболи, яка має вигляд y = a(x - h)^2 + k.

Почнемо з заданого рівняння:

x^2 + 6x + 7 - 4y = 0

Перенесемо термін з y на ліву сторону та розкриємо дужки для x^2 + 6x:

y = 1/4 x^2 + 3/2 x + 7/4

Це рівняння має форму y = a(x - h)^2 + k, де a = 1/4, h = -3, та k = 7/4. Отже, задане рівняння визначає параболу з вершиною у точці (-3, 7/4).

Answer 2

Щоб визначити, чи задане рівняння x^2 + 6x + 7 - 4y = 0 визначає параболу, давайте спробуємо його переписати у канонічну форму параболи.

Почнемо з виділення повного квадрату для членів, пов'язаних з x:

\[ x^2 + 6x + 7 - 4y = 0 \]

\[ x^2 + 6x + 9 + 7 - 4y = 9 \]

\[ (x + 3)^2 - 4y = 2 \]

Тепер перенесемо -4y на правий бік:

\[ (x + 3)^2 = 4y + 2 \]

\[ (x + 3)^2 = 2(2y + 1) \]

Отже, після переписування у канонічну форму можемо побачити, що дане рівняння є параболою. Канонічна форма параболи має вигляд \( (x - h)^2 = 4a(y - k) \), де (h, k) - вершина параболи і a - фокусне відстань. У нашому випадку вершина рівна (-3, -1/2), тобто парабола відкривається вниз.

Отже, визначене рівняння x^2 + 6x + 7 - 4y = 0 визначає параболу.