Question

654. Знайдіть чотири послідовних парних натуральних числа, якщо сума першого та третього чисел у 5 разів менша від добутку другого та четвертого чисел.​

Answer 1

Пусть первое чётное натуральное число равно $n$, тогда три следующих равны соответственно $(n+2), \; (n+4)$ и $(n+6) \!:$

$n+(n+4)=\dfrac{1}{5} \cdot (n+2)(n+6)\\2n+4=\dfrac 15 (n^2+8n+12)\\10n+20=n^2+8n+12\\n^2-2n-8=0\\D=(-2)^2+ 4 \cdot 8=4+32=36\\n_1=\dfrac{2+6}{2}=\dfrac 82 = 4\\n_2=\dfrac{2-6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Второй корень не подходит, поскольку n — число положительное.

Ответ: 4, 6, 8, 10.

Answer 2

Давайте позначимо чотири послідовні парні натуральні числа як \(2n, 2n+2, 2n+4\) та \(2n+6\), де \(n\) - це натуральне число.

Сума першого та третього чисел буде: \[2n + (2n+4)\]

Добуток другого та четвертого чисел буде: \[(2n+2) \cdot (2n+6)\]

За умовою задачі сума першого та третього чисел у 5 разів менша від добутку другого та четвертого чисел. Виразимо це математично:

\[2n + (2n+4) = \frac{1}{5} \cdot (2n+2) \cdot (2n+6)\]

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

\[2n + 2n + 4 = \frac{1}{5} \cdot (4n^2 + 8n + 2n + 12)\]

\[4n + 4 = \frac{1}{5} \cdot (4n^2 + 10n + 12)\]

\[20n + 20 = 4n^2 + 10n + 12\]

\[4n^2 - 10n - 8 = 0\]

Розв'яжемо це квадратне рівняння. Для спрощення можемо розділити обидві сторони на 2:

\[2n^2 - 5n - 4 = 0\]

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня або формули квадратного рівняння. Рішення буде:

\[n = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{4}\]

\[n = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4}\]

Рішення може бути двома значеннями:

\[n_1 = \frac{5 + 9}{4} = 3.5\]

\[n_2 = \frac{5 - 9}{4} = -1\]

Однак, так як \(n\) повинно бути натуральним числом, то відповіді:

\[n = 3\]

Таким чином, чотири послідовні парні натуральні числа будуть:

\[2 \cdot 3, 2 \cdot 3 + 2, 2 \cdot 3 + 4, 2 \cdot 3 + 6\]

Що рівно:

\[6, 8, 10, 12\]

Отже, шукані числа - 6, 8, 10, 12.