Question

Найдите точки экстремума функции y=4x−(7/2)x2−(2/3)x3​

Answer 1

y=4x-3.5x²-2x³/3

1)D(y)=(-∞;∞)

2)y'=(4x+3.5x²-2x³/3)=4x-3.5×2x-2/3 ×3x²=4-7x-2x²

4-7x-2x²=0

2x²+7x-4=0

D=b²-4ac=7²-4×2×(-4)=81

x=(-b±√D)/2a=(-7±√81)÷4=-4 и 0,5  критические

f'(0)=2×0²+7×0-4=4>0 ⇒ промежуток возрастания: [-4;0.5]

промежуток убывания: (-∞;-4] ∪ [0.5;∞)

то есть получаем такие промежутки монотонности: ↓ ↑ ↓

⇒ x(min)=-4  x(max)=0.5

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = 4x - (7/2)x^2 - (2/3)x^3, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Точки экстремума могут быть максимумами или минимумами функции.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y по x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их:

y' = d/dx [4x - (7/2)x^2 - (2/3)x^3] = d/dx [4x] - d/dx [(7/2)x^2] - d/dx [(2/3)x^3] = 4 - (7/2)*2x - (2/3)*3x^2 = 4 - 7x - 2x^2

Нахождение точек экстремума

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю:

4 - 7x - 2x^2 = 0

Уравнение является квадратным, поэтому мы можем решить его, используя квадратное уравнение или графический метод. Решив это уравнение, мы найдем значения x, которые являются кандидатами на точки экстремума функции.

Проверка на тип экстремума

Для определения типа экстремума, мы должны проанализировать знак второй производной функции в найденных точках. Если вторая производная положительна, то точка является минимумом, а если она отрицательна, то точка является максимумом.

Пример решения

Допустим, мы найдем две точки x = 1 и x = 2 как решения уравнения 4 - 7x - 2x^2 = 0.

Теперь, чтобы определить тип экстремума в этих точках, найдем вторую производную функции:

y'' = d^2/dx^2 [4 - 7x - 2x^2] = d/dx [-7 - 4x] = -4

Вторая производная равна -4, что является отрицательным числом. Это означает, что оба значения x = 1 и x = 2 являются точками максимума функции y = 4x - (7/2)x^2 - (2/3)x^3.

Ответ

Таким образом, точки экстремума функции y = 4x - (7/2)x^2 - (2/3)x^3 равны x = 1 и x = 2, и оба они являются точками максимума.