Question

Решить дифференциальное уравнение относительно сменной. 2x^2*y' = y*(2x^2-y^2)

Answer 1

Ответ:

$></p><p><img src=$

∫y^(-3)dy-∫y^(-2)dy=-0,5∫x^(-2)dx

$></p><p></p><p><u>Лучший ответ пж</u></p><p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение, которое вы предоставили, имеет вид:

\[2x^2y' = y(2x^2 - y^2).\]

Чтобы решить это уравнение, давайте выразим производную \(y'\) относительно \(x\). Для этого разделим обе стороны уравнения на \(2x^2\):

\[y' = \frac{y(2x^2 - y^2)}{2x^2}.\]

Теперь у нас есть уравнение в виде \(y'\), и мы можем попробовать решить его.

Давайте перепишем уравнение в более удобной форме:

\[y' = \frac{y(2x^2 - y^2)}{2x^2}.\]

Теперь давайте попробуем разделить переменные, переместив все, что содержит \(y\) в одну часть, а все, что содержит \(x\), в другую:

\[\frac{1}{y} \, dy = \frac{2x^2 - y^2}{2x^2} \, dx.\]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл от левой стороны даст \(\ln|y|\), а интеграл от правой стороны требует немного алгебры:

\[\int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{2x^2 - y^2}{2x^2} \, dx.\]

Давайте рассмотрим правую сторону:

\[\int \frac{2x^2 - y^2}{2x^2} \, dx = \int \left(1 - \frac{y^2}{2x^2}\right) \, dx.\]

Теперь проинтегрируем каждый член по отдельности:

\[\int \left(1 - \frac{y^2}{2x^2}\right) \, dx = x - \frac{1}{2} \int \frac{y^2}{x^2} \, dx.\]

Для интеграла \(\int \frac{y^2}{x^2} \, dx\) сделаем замену переменных \(u = \frac{y}{x}\), тогда \(du = \frac{1}{x} \, dy\), и интеграл примет вид:

\[\frac{1}{2} \int \frac{y^2}{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int u^2 \, du = \frac{1}{6}u^3 = \frac{1}{6} \left(\frac{y}{x}\right)^3.\]

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

\[\ln|y| = x - \frac{1}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^3 + C,\]

где \(C\) - константа интегрирования. Это уравнение содержит неявную зависимость между \(x\) и \(y\). Если нужно, вы можете попробовать решить его относительно \(y\) или использовать начальные условия для определения константы \(C\).

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение:

2x^2*y' = y*(2x^2 - y^2)

Для решения уравнения можно использовать метод разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в виде:

2x^2*y' - y*(2x^2 - y^2) = 0

Разделим обе части уравнения на y*(2x^2 - y^2):

(2x^2*y' - y*(2x^2 - y^2))/(y*(2x^2 - y^2)) = 0

Теперь приведем выражение к более удобному виду:

(2x^2*y' - 2x^2y + y^3)/(y*(2x^2 - y^2)) = 0

Далее, вын