Question

в правильной треугольной пирамиде высота образует с плоскостью боковой грани угол бетта. определите полную поверхность пирамиды если расстояние от основания высоты до боковой грани равно d. СРОЧНО!!!

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3d^{2} \sqrt{3}(1+ sin\beta) }{sin\beta \cdot cos^{2} \beta }$ см² - площадь полной поверхности пирамиды.

Пошаговое объяснение:

По условию задана правильная треугольная пирамида SABCD .

SО - высота пирамиды. SМ - апофема, то есть высота боковой грани.

∠ МSО =β, расстояние от основания высоты - точки О до боковой грани ОК =d.

Рассмотрим треугольник Δ SКО - прямоугольный.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$sin\beta =\dfrac{KO}{SO} ;\\\\SO= \dfrac{KO}{sin\beta } ;\\\\SO= \dfrac{d}{sin\beta }$

Рассмотрим Δ SОМ - прямоугольный .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos\beta =\dfrac{SO}{SM} ;\\\\SM= \dfrac{SO}{cos\beta } =\dfrac{d}{sin\beta \cdot cos\beta }$

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg\beta =\dfrac{OM}{SO} ;\\\\OM=SO\cdot tg\beta ;\\\\OM= \dfrac{d}{sin\beta } \cdot tg\beta =\dfrac{d}{sin\beta } \cdot \dfrac{sin\beta }{cos\beta } =\dfrac{d}{cos\beta }$

Если пирамида правильная, то ОМ - радиус вписанной окружности, для правильного треугольника он определяется по формуле

$r= \dfrac{a}{2\sqrt{3} } , a-$  сторона треугольника

$a=2r\sqrt{3} ;\\a= 2\cdot OM \cdot \sqrt{3} ;\\\\a=2\cdot \dfrac{d}{cos\beta }\cdot\sqrt{3} =\dfrac{2d\sqrt{3} }{cos\beta }$

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности  и площади основания.

Найдем площадь боковой поверхности как полупроизведение периметра основания на апофему.

$P= 3a;\\P= 3\cdot \dfrac{2d\sqrt{3} }{cos\beta } =\dfrac{6d\sqrt{3} }{cos\beta }$

$S= \dfrac{1}{2} \cdot P\cdot SM;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6d\sqrt{3} }{cos\beta } \cdot \dfrac{d}{sin\beta \cdot cos\beta } =\dfrac{3d^{2}\sqrt{3} }{sin\beta \cdot cos^{2} \beta } .$

Площадь правильного треугольника определяется по формуле

$S= \dfrac{a^{2} \sqrt{3} }{4} ,$

где a- сторона треугольника.

$S= \left(\dfrac{2d\sqrt{3} }{cos\beta }\right )^{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{4} =\dfrac{4d^{2} \cdot3}{cos^{2} \beta } \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{4} =\dfrac{3d^{2} \sqrt{3} }{cos^{2} \beta }$

Тогда площадь полной поверхности пирамиды

$S= \dfrac{3d^{2}\sqrt{3} }{sin\beta \cdot cos^{2} \beta } + \dfrac{3d^{2}\sqrt{3} }{cos^{2} \beta } =\dfrac{3d^{2} \sqrt{3}+ 3d^{2} \sqrt{3}\cdot sin\beta }{sin\beta \cdot cos^{2} \beta } =\dfrac{3d^{2} \sqrt{3}(1+ sin\beta) }{sin\beta \cdot cos^{2} \beta }$ см²

Answer 2

Для решения задачи, давайте введем некоторые обозначения. Пусть \(ABCD\) - это треугольная пирамида, где \(AB\) - основание, а \(E\) - середина ребра \(AB\). Также пусть \(O\) - вершина пирамиды, а \(OH\) - высота, опущенная из вершины на основание \(AB\). Угол между боковой гранью и высотой обозначим как \(\beta\).

Теперь мы знаем, что \(OE\) является радиусом вписанной окружности в треугольник \(ABC\), так как \(E\) - середина \(AB\). Также, так как треугольник \(ABC\) прямоугольный, то \(OE\) - медиана и равна половине гипотенузы, то есть \(\frac{1}{2}d\).

Также, угол \(\beta\) между высотой и боковой гранью можно рассмотреть в прямоугольном треугольнике \(OHE\), где \(OH\) - катет, а \(OE\) - гипотенуза. Тогда \(\tan{\beta} = \frac{OH}{OE}\).

Мы знаем, что \(OH = \frac{1}{2}d\) и \(\tan{\beta} = \frac{OH}{OE}\), поэтому \(\tan{\beta} = \frac{\frac{1}{2}d}{OE}\). Отсюда получаем, что \(OE = \frac{\frac{1}{2}d}{\tan{\beta}}\).

Теперь у нас есть два выражения для \(OE\): \(OE = \frac{1}{2}d\) и \(OE = \frac{\frac{1}{2}d}{\tan{\beta}}\), поэтому можем приравнять их:

\[ \frac{1}{2}d = \frac{\frac{1}{2}d}{\tan{\beta}}. \]

Решим это уравнение относительно \(\tan{\beta}\):

\[ \tan{\beta} = \frac{\frac{1}{2}d}{\frac{1}{2}d} = 1. \]

Теперь мы знаем, что \(\tan{\beta} = 1\), что означает, что угол \(\beta\) равен 45 градусам.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(OHE\) с углом \(\beta = 45^\circ\). В этом треугольнике:

\[ \cos{\beta} = \frac{OH}{OE} = \frac{\frac{1}{2}d}{OE}. \]

Таким образом, \(OE = \frac{\frac{1}{2}d}{\cos{\beta}}\).

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты \(OE\), можем найти площадь боковой грани, которая представляет собой треугольник \(OAB\). Площадь треугольника можно выразить как \(S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OE\).

Подставим выражение для \(OE\):

\[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{\frac{1}{2}d}{\cos{\beta}}. \]

Теперь мы можем умножить это выражение на количество боковых граней (что равно числу боковых граней треугольной пирамиды) и добавить площадь основания:

\[ S_{\text{полн}} = S_{OAB} \cdot 3 + S_{\text{осн}}. \]

Таким образом, вы можете выразить полную поверхность пирамиды, используя указанные выше формулы.