Question

Найдите все целые числа n такие, что n² + 6n + 33 является квадратом целого числа.ПЖПЖПЖ помогитеее

Answer 1

требуется, чтобы n² + 6n + 33 был квадратом целого числа. пусть это будет х²

выделим квадрат суммы двух выражений  из n² + 6n + 33 .

n² + 6n + 33 = (n² + 2n*3+3²)-3² + 33 =(n+3)²-9+33=х²

(n+3)²-х²=-24

разложим левую часть на множители.

(n+3-х)*(n+3+х)=-24

пусть n+3=у, тогда

(у-х)(у+х)=-24

т.к. произведение -24- отрицательно, то  (у-х)(у+х) разных знаков.

т.к. по условию n- целое, то рассмотрим следующие случаи:

(у-х)=24; (у+х) =-1⇒2у=23∅

(у-х)=12; (у+х) =-2⇒2у=10; у=5; х=-7;  значит, n=у-3=5-3=2

(у-х)=8; (у+х) =-3⇒2у=5∅

(у-х)=6; (у+х) =-4⇒2у=2; у=1;  значит, n=у-3=1-3=-2

(у-х)=4; (у+х) =-6⇒2у=-2; у=-1;  значит, n=-1-3=-4

(у-х)=3; (у+х) =-8⇒2у=-5;∅

(у-х)=2; (у+х) =-12⇒2у=-10; у=-5;  значит, n=у-3=-5-3=-8

(у-х)=1; (у+х) =-24; 2у=-23∅

меняя знаки у множителей  (у-х) и (у+х) , получим новые четыре числа. сумму двух у, которая является нечетной, уже не рассматриваем.

(у-х)=-12; (у+х) =2⇒2у=-10; у=-5;  n=у-3=-5-3=-8- уже была,

(у-х)=-6; (у+х) =4⇒2у=-2; у=-1;  значит, n=-1-3=-4

(у-х)=-4; (у+х) =6⇒2у=2; у=1;  значит, n=1-3=-2

(у-х)=-2; (у+х) =12⇒2у=10; у=5;  значит, n=у-3=5-3=2

получили ответы -8; ±2; -4;

Ответ  -8;-4; -2; 2;

Answer 2

Конечно, давайте решим это уравнение. У вас есть квадратное уравнение вида \(n^2 + 6n + 33 = m^2\), где \(m\) - целое число.

Перепишем уравнение в виде \(n^2 + 6n + (33 - m^2) = 0\).

Теперь используем критерий дискриминанта, чтобы определить, есть ли целые значения \(n\), удовлетворяющие уравнению. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае \(a = 1\), \(b = 6\), и \(c = 33 - m^2\).

Если \(D\) является полным квадратом, то у уравнения есть целые корни.

Выражаем дискриминант:

\[D = 6^2 - 4(33 - m^2) = 36 - 4(33 - m^2) = 36 - 132 + 4m^2 = 4m^2 - 96\]

Теперь находим условия, при которых \(D\) является полным квадратом. Для этого выражение \(4m^2 - 96\) должно быть квадратом целого числа. Мы знаем, что \(D\) - полный квадрат, если и только если все его простые делители в нечетных степенях.

Разложим \(96\) на простые множители: \(96 = 2^5 \cdot 3\).

Теперь подберем такое \(m\), чтобы \(4m^2 - 96\) было полным квадратом:

\[4m^2 - 96 = k^2\]

\[4m^2 = k^2 + 96\]

\[m^2 = \frac{k^2 + 96}{4}\]

\[m^2 = \frac{k^2}{4} + 24\]

\[m^2 - 24 = \frac{k^2}{4}\]

Так как правая сторона равенства - это целое число, а левая сторона - это полный квадрат, мы видим, что \(m^2 - 24\) должно быть полным квадратом.

Теперь, анализируем, какие целые значения \(m\) удовлетворяют этому условию.

\[m^2 - 24 = n^2\]

\[m^2 - n^2 = 24\]

\[(m + n)(m - n) = 24\]

Теперь рассмотрим все пары делителей числа 24:

1. \(m + n = 24, m - n = 1\) 2. \(m + n = 12, m - n = 2\) 3. \(m + n = 8, m - n = 3\) 4. \(m + n = 6, m - n = 4\)

Решая каждую из этих систем уравнений, мы найдем значения \(m\) и \(n\):

1. \(m = 12.5, n = 11.5\) 2. \(m = 7, n = 5\) 3. \(m = 5.5, n = 2.5\) 4. \(m = 5, n = 1\)

Теперь подставим найденные значения \(m\) в уравнение \(4m^2 - 96\) и проверим, являются ли они полными квадратами:

1. \(4(12.5)^2 - 96 = 25\) - полный квадрат 2. \(4(7)^2 - 96 = 25\) - полный квадрат 3. \(4(5.5)^2 - 96 = 9\) - полный квадрат 4. \(4(5)^2 - 96 = 4\) - полный квадрат

Таким образом, уравнение \(n^2 + 6n + 33 = m^2\) имеет целые корни только при \(n = 5\) и \(n = 1\).