Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и объем тела вращения этой фигуры вокруг оси Ox : y=3-x^2; y=2

Answer 1

Площадь фигуры вычисляется как интеграл, с приделами интегрирования от -1 до 1 функции f(x₁)-f(x₂)
Когда высчитывала интеграл по формуле Ньютона-Лейбница не стала подробно расписывать, где искала объёма сразу написала 32/5

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=3-x^2 и y=2, мы можем использовать интеграл.

Сначала найдем точки пересечения этих двух линий. Приравняем уравнения и решим полученное уравнение:

3 - x^2 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, точками пересечения являются (-1, 2) и (1, 2).

После этого мы можем построить график функции y=3-x^2 и линии y=2 на плоскости, чтобы визуализировать фигуру.

Далее, мы можем использовать интеграл для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции и линией y=2. Так как фигура симметрична относительно оси ox, мы можем рассмотреть только половину фигуры и затем удвоить полученный результат.

Запишем уравнение кривой y=3-x^2 в виде x = ±sqrt(3-y). Таким образом, мы можем использовать эти уравнения в интеграле для рассмотрения только положительного значения x.

Площадь S фигуры можно вычислить при помощи интеграла:

S = 2 * ∫[a, b] (3-x^2) dx,

где a = sqrt(3-2) = sqrt(1) = 1 и b = sqrt(3-0) = sqrt(3).

Вычислим этот интеграл:

S = 2 * ∫[1, sqrt(3)] (3-x^2) dx = 2 * (3x - (x^3/3)) |[1, sqrt(3)] = 2 * ((3 * sqrt(3) - (sqrt(3)^3/3)) - (3 - (1^3/3))) = 2 * ((3 * sqrt(3) - 3) - (3 - 1/3)) = 2 * ((3 * sqrt(3) - 3) - 8/3) = 2 * (9 * sqrt(3) / 3 - 8/3) = 2 * (3 * sqrt(3) - 8/3) = 2 * (3 * sqrt(3) - 8/3) ≈ 15.79

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=3-x^2 и y=2, равна приблизительно 15.79 квадратных единиц.

Чтобы вычислить объем тела вращения этой фигуры вокруг оси ox, мы можем использовать также интеграл. Формула для вычисления объема V тела вращения фигуры вокруг оси ox следующая:

V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx,

где f(x) - функция, описывающая верхнюю часть фигуры (в нашем случае это y = 3 - x^2), a и b - точки пересечения этой функции с осью ox.

Вычислим этот интеграл:

V = π * ∫[-1, 1] (3 - x^2)^2 dx.

Возведем выражение (3 - x^2)^2 в квадрат:

(3 - x^2)^2 = 9 - 6x^2 + x^4.

Теперь можем вычислить интеграл:

V = π * (9x - 2x^3/3 + x^5/5) |[-1, 1] = π * ((9 - 2/3 + 1/5) - (9 - 2/3 + 1/5)) = 0.

Таким образом, объем тела вращения фигуры вокруг оси ox равен нулю.

В результате, площадь фигуры ограниченной линиями y=3-x^2 и y=2 составляет приблизительно 15.79 квадратных единиц, а объем тела вращения этой фигуры вокруг оси ox равен нулю.