Question

Найдите все целые значения b,при которых корень уравнения (3-b)•x=-15 является натуральным числом.

Answer 1

Ответ:

Ниже записаны пары параметр и  соответствующий ему натуральный корень

4=b                    6=b                         8=b                         18=b

х=15                    х=5                          х=3                          х=1      

Пошаговое объяснение:

Найдем корень уравнения через параметр b

(3-b)•x=-15

$x=\frac{-15}{(3-b)}$  

Чтобы это число было натуральным , должно выполняться сразу два условия:

1)   При отрицательном числителе наменатель должен быть отрицательным , чтобы дробь стала положительной .

3-b < 0    , 3 < b

2) Чтобы дробь стала целым числом,необходимо иметь в знаменателе делители 15.

Запишем делители 15,

1 , 3, 5, 15

Поскольку числитель равен -15,знаменатель будем выбирать делители со знаком минус.

3-b=-1             3-b= -3                   3-b= -5                       3-b= -15

3+1=b              3+3=b                     3+5 = b                      3+15=b

4=b                    6=b                         8=b                         18=b

Проверка корня:

х=(-15)/(3-4)           х=(-15)/(3-6)             х=(-15)/(3-8)             х=(-15)/(3-18)

х=-15/(-1)                 х=-15/(-3)                х=-15/(-5)                  х=-15/(-15)  

х=15                            х=5                       х=3                          х=1      

Answer 2

Для того чтобы корень уравнения \((3 - b) \cdot x = -15\) являлся натуральным числом, мы должны учесть следующие условия:

1. Выражение под корнем, то есть \((3 - b) \cdot x\), должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не может быть натуральным числом.

2. Результат под корнем должен быть полным квадратом натурального числа, так как корень из полного квадрата даст нам натуральное число.

Давайте рассмотрим каждое условие по отдельности:

1. Условие неотрицательности выражения \((3 - b) \cdot x\): \((3 - b) \cdot x \geq 0\)

2. Условие полного квадрата: Пусть \(k\) - натуральное число, тогда выражение \((3 - b) \cdot x\) должно быть равно квадрату \(k\): \((3 - b) \cdot x = k^2\)

Теперь мы можем объединить оба условия и решить систему уравнений:

\[ \begin{align*} (3 - b) \cdot x &\geq 0 \\ (3 - b) \cdot x &= k^2 \end{align*} \]

Сначала рассмотрим первое условие:

1. \( (3 - b) \cdot x \geq 0 \)

Это неравенство будет верным, если либо оба множителя положительны, либо оба множителя отрицательны. Рассмотрим оба варианта:

a) Оба множителя положительны: \((3 - b) > 0\) и \(x > 0\)

Это означает, что \(b < 3\) и \(x > 0\).

b) Оба множителя отрицательны: \((3 - b) < 0\) и \(x < 0\)

Это означает, что \(b > 3\) и \(x < 0\).

Теперь рассмотрим второе условие:

2. \( (3 - b) \cdot x = k^2 \)

Сначала выразим \(x\) из этого уравнения:

\[ x = \frac{k^2}{3 - b} \]

Теперь мы можем подставить значения \(b\) из первого случая (a) и второго случая (b) и рассмотреть, при каких значениях \(b\) и \(k\) уравнение будет выполняться:

a) Для \(b < 3\): \[ x = \frac{k^2}{3 - b} \] Так как \(x\) должно быть натуральным числом, \(k^2\) должно быть кратно \(3 - b\).

b) Для \(b > 3\): \[ x = \frac{k^2}{3 - b} \] Так как \(x\) должно быть натуральным числом, \(3 - b\) должно делить \(k^2\).

Теперь давайте рассмотрим все натуральные значения \(k\), которые удовлетворяют этим условиям:

a) Для \(b < 3\): - Пусть \(k = 1\), тогда \(3 - b\) должно быть кратно 1, что означает, что \(3 - b = 1\) или \(3 - b = -1\). - Если \(3 - b = 1\), то \(b = 2\). - Если \(3 - b = -1\), то \(b = 4\).

b) Для \(b > 3\): - Пусть \(k = 1\), тогда \(3 - b\) должно делиться на 1, что означает, что \(3 - b = 1\) или \(3 - b = -1\). - Если \(3 - b = 1\), то \(b = 2\). - Если \(3 - b = -1\), то \(b = 4\).

Таким образом, существует два значения \(b\), при которых корень уравнения \((3 - b) \cdot x = -15\) является натуральным числом: \(b = 2\) и \(b = 4\).