Question

В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шара; б) меньше, чем 3 белых шаров; в) хотя бы один белый шар.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

А) в некоторых случаях возможно

Б) возможно

В) точно есть

Answer 2

Давайте решим каждый пункт по очереди.

а) Вероятность того, что из 5 вытянутых шаров 3 будут белыми. Мы можем использовать формулу сочетаний (количество способов выбрать k элементов из n) и вероятности:

\[ P(\text{3 белых}) = \frac{{C(6, 3) \cdot C(5, 2)}}{{C(11, 5)}} \]

Где \( C(n, k) \) - количество сочетаний из n по k. В данном случае, мы выбираем 3 белых из 6 белых и 2 черных из 5 черных, делённое на общее количество способов выбрать 5 шаров из 11.

\[ P(\text{3 белых}) = \frac{{20 \cdot 10}}{{462}} = \frac{{200}}{{462}} \approx 0.4329 \]

б) Вероятность того, что из 5 вытянутых шаров меньше чем 3 белых. Это может произойти, если мы вытянем 0, 1 или 2 белых шара.

\[ P(\text{меньше 3 белых}) = P(\text{0 белых}) + P(\text{1 белый}) + P(\text{2 белых}) \]

\[ P(\text{меньше 3 белых}) = \frac{{C(6, 0) \cdot C(5, 5)}}{{C(11, 5)}} + \frac{{C(6, 1) \cdot C(5, 4)}}{{C(11, 5)}} + \frac{{C(6, 2) \cdot C(5, 3)}}{{C(11, 5)}} \]

\[ P(\text{меньше 3 белых}) = \frac{{1 \cdot 1 + 6 \cdot 5 + 15 \cdot 10}}{{462}} = \frac{{1 + 30 + 150}}{{462}} = \frac{{181}}{{462}} \approx 0.3913 \]

в) Вероятность того, что из 5 вытянутых шаров хотя бы один будет белым. Это означает, что мы будем вытягивать 0 черных шаров из 5, то есть все будут белыми.

\[ P(\text{хотя бы 1 белый}) = \frac{{C(6, 5) \cdot C(5, 0)}}{{C(11, 5)}} \]

\[ P(\text{хотя бы 1 белый}) = \frac{{6 \cdot 1}}{{462}} = \frac{{6}}{{462}} \approx 0.013 \]

Таким образом, вероятности для каждого случая:

а) \( P(\text{3 белых}) \approx 0.4329 \)

б) \( P(\text{меньше 3 белых}) \approx 0.3913 \)

в) \( P(\text{хотя бы 1 белый}) \approx 0.013 \)