Question

Найти объем тела, полученного от вращения кривой y=1/4 * x^2 вокруг оси Ох в пределах от х = 1 до х = 2

Answer 1

V=31П/80

V=П*∫f^2(x)dx=П/16∫x^4dx=П/80*x^5

V=П/80(2^5-1^5)=31П/80

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного от вращения кривой вокруг оси OX, необходимо использовать формулу объема вращения. Формула объема вращения тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси OX в пределах от х = a до х = b, выглядит следующим образом:

V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx,

где V - объем тела, π - математическая константа, ∫[a, b] - интеграл от a до b.

В данном случае у нас кривая y = 1/4 * x^2 и пределы интегрирования от х = 1 до х = 2. Подставим значения в формулу:

V = π * ∫[1, 2] (1/4 * x^2)^2 dx = π * ∫[1, 2] (1/4)^2 * x^4 dx = π * (1/4)^2 * ∫[1, 2] x^4 dx = π * (1/16) * (1/5) * x^5 |[1, 2] = π * (1/16) * (1/5) * (2^5 - 1^5) = π * (1/16) * (1/5) * (32 - 1) = π * (1/16) * (1/5) * 31 = π * (31/80).

Таким образом, объем тела, полученного от вращения кривой y = 1/4 * x^2 вокруг оси OX в пределах от х = 1 до х = 2, равен π * (31/80).