Question

Длины всех сторон двух подобных, но не равных друг другу треугольников — целые числа. Чему может быть равен периметр большего, если в одном треугольнике есть стороны длины 2 и 6, а в другом треугольнике есть сторона длины 3? Найдите все варианты. СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

(3; 9; 9); (3; 3; 1)

Пошаговое объяснение:

У треугольника со сторонами 2 и 6 третья может быть 5, 6 или 7.

1) 2, 6, 5. У второго треугольника есть сторона 3, значит, коэффициент подобия может быть 3/2, 3/6 или 3/5.

Тогда второй треугольник может иметь стороны:

3/2 = x/6 = y/5; x = 3*6/2 = 9, y = 3*5/2 = 15/2 - не подходит.

3/6 = x/2 = y/5; x = 3*2/6 = 1, y = 3*5/6 = 15/6 - не подходит.

3/5 = x/6 = y/2; x = 6*3/5 = 18/5 - не подходит.

2) 2, 6, 6. У второго треугольника есть сторона 3, значит, коэффициент подобия может быть 3/2 или 3/6.

Тогда второй треугольник может иметь стороны:

3/2 = x/6 = y/6; x = 3*6/2 = 9, y = 3*6/2 = 9 - подходит. (3; 9; 9).

3/6 = x/6 = y/2; x = 3*6/6 = 3, y = 3*2/6 = 1 - подходит. (3; 3; 1).

3) 2, 6, 7. У второго треугольника есть сторона 3, значит, коэффициент подобия может быть 3/2, 3/6 или 3/7.

Тогда второй треугольник может иметь стороны:

3/2 = x/6 = y/7; x = 3*6/2 = 9, y = 3*7/2 = 21/2 - не подходит.

3/6 = x/6 = y/7; x = 3*6/6 = 3, y = 3*7/6 = 21/6 - не подходит.

3/7 = x/6 = y/2; x = 6*3/7 = 18/7- не подходит.

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольников следующим образом:

Для первого треугольника: - сторона a = 2, - сторона b = 6, - сторона c (оставшаяся сторона).

Для второго треугольника: - сторона x = 3, - сторона y (оставшаяся сторона).

Так как треугольники подобны, отношения длин соответствующих сторон равны:

\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z},\)

где z - оставшаяся сторона в первом треугольнике.

Мы уже знаем, что a = 2 и x = 3, поэтому:

\(\frac{2}{3} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}.\)

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты целочисленных значений для b, c, и y.

1. Пусть b = 4. Тогда:

\(\frac{2}{3} = \frac{4}{y} \Rightarrow y = 3 \cdot 2 = 6.\)

Таким образом, у нас есть треугольник с сторонами 2, 4, 6.

Периметр первого треугольника: \(2 + 6 + 4 = 12.\)

Периметр второго треугольника: \(2 + 6 + 3 = 11.\)

2. Пусть b = 8. Тогда:

\(\frac{2}{3} = \frac{8}{y} \Rightarrow y = 3 \cdot 4 = 12.\)

Таким образом, у нас есть треугольник со сторонами 2, 8, 12.

Периметр первого треугольника: \(2 + 6 + 8 = 16.\)

Периметр второго треугольника: \(2 + 3 + 12 = 17.\)

Таким образом, два варианта целочисленных значений для периметра большего треугольника - 12 и 16.