Question

Розв'яжіть рівняння 7cosx = 2cos2x

Answer 1

Дано рівняння: 7cosx = 2cos2x. Спочатку застосуємо тригонометричну тотожність: cos2x = 2cos^2(x) - 1. Підставляємо цю тотожність в рівняння: 7cosx = 2(2cos^2(x) - 1). Подвоюємо скобку у другій дужці: 7cosx = 4cos^2(x) - 2. Переносимо всі коефіцієнти на одну сторону: 4cos^2(x) - 7cosx - 2 = 0. Дане рівняння - квадратне відносно cosx. Знайдемо його корені за допомогою квадратного рівняння. Для знаходження коренів використовуємо формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a), де a = 4, b = -7, c = -2. Підставляємо значення у формулу: cosx = (-(-7) ± √((-7)^2 - 4 * 4 * (-2))) / (2 * 4). Спрощуємо вираз: cosx = (7 ± √(49 + 32)) / 8, cosx = (7 ± √81) / 8. cosx = (7 ± 9) / 8, cosx = -2/8 або cosx = 16/8, cosx = -1/4 або cosx = 2. cosx = -1/4, якщо значення лежить у проміжку від 0 до π. cosx = 2 - неможливе значення, оскільки косинус не може бути більше 1. Отже, розв'язком рівняння 7cosx = 2cos2x є x = arccos(-1/4).