Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 -3x^2 в точке с абсциссой x снизу 0 = 1

Answer 1

Ответ:       y = - 3x + 1 .

Пошаговое объяснение:

     f(x) = x³ - 3x² ;    х₀ = 1 . Рівняння дотичної :  y = f( x ) + f '( x₀ )( x - x₀ ) .

  f( 1 ) = 1³ - 3 * 1² = 1 - 3 * 1 = 1 - 3 = - 2 ;          f( 1 ) = - 2 ;      

   f '( x ) = ( x³ - 3x² )' = 3x² - 6x ;         f '( x ) = 3x² - 6x ;  

   f '( 1 ) = 3 * 1² - 6 * 1 = 3 - 6 = - 3 ;   f '( 1 ) = - 3 . Підставляємо значення :

   y = - 2 + (- 3 )*( x - 1 ) = - 2 - 3x + 3 = - 3x + 1 ;     y = - 3x + 1 .

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 в точке с абсциссой x = 1, мы можем использовать производную функции. Касательная к графику функции в данной точке будет иметь тот же наклон, что и кривая графика в этой точке.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x) = x^3 - 3x^2. Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности, используя правила дифференцирования:

f'(x) = (3x^2 - 6x)

Нахождение значения производной в точке x = 1

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x = 1, подставим значение x = 1 в уравнение f'(x):

f'(1) = (3(1)^2 - 6(1)) = (3 - 6) = -3

Составление уравнения касательной к графику

Итак, мы нашли, что значение производной в точке x = 1 равно -3. Теперь мы можем составить уравнение касательной, используя эту информацию и координаты точки (1, f(1)).

Уравнение касательной имеет вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, а m - наклон касательной (значение производной в данной точке).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 в точке x = 1 выглядит следующим образом:

y - f(1) = -3(x - 1)

где f(1) - значение функции в точке x = 1.

Вычисление значения функции в точке x = 1

Чтобы завершить уравнение касательной, нужно найти значение функции в точке x = 1. Подставим это значение в исходную функцию f(x):

f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 = 1 - 3 = -2

Окончательное уравнение касательной

Теперь, используя значение функции f(1) = -2, окончательное уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 в точке x = 1 будет:

y - (-2) = -3(x - 1)

или, упрощенно:

y + 2 = -3x + 3

или, в форме общего уравнения прямой:

y = -3x + 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 в точке x = 1 равно y = -3x + 1.