Question

1. В правильній чотирикутній піраміді SABCD точка O - центр основи, S- вершина, SO = 8 см, BD-30 см. Знайдіть бічне ребро SA. 2. В правильній трикутній піраміді SABC точка М середина ребра AB, S - вершина. Відомо, що ВС = 6 см, а SM= 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди. ​

Answer 1

2)В правильній трикутній піраміді всі бічні грані рівні трикутникам, що мають спільну вершину, тому для того, щоб знайти площу бічної поверхні, нам потрібно знайти площу однієї з таких граней і помножити її на кількість бічних граней (в правильній чотирикутній піраміді всього 4 таких грані).

За теоремою Піфагора в трикутнику БСМ можна знайти сторону СМ:

SM^2 = BM^2 + BS^2

SM^2 = (AB/2)^2 + BS^2 (AB/2 - тому що BM є серединним перпендикуляром до СМ, і в правильному трикутнику BM = AB/2)

144 = (AB/2)^2 + BS^2

Також ми можемо вважати, що величини BM і BS дорівнюють відповідно одній третині і одній шостій від СА (S - вершина):

BM = AB/2 = CA/6

BS = SA/6

Тоді, підставляючи ці значення в попереднє рівняння, маємо:

144 = (CA/12)^2 + (SA/6)^2

CA^2 + 4SA^2 = 10368        (помножили обидві частини на 144)

Тепер ми можемо знайти бічну сторону СА:

CA = √(10368/5) = 48

Площа трикутника САВ:

S = (AB * SV)/2 = (CA * SV)/2 = (48 * 12)/2 = 288

Таким чином, площа бічної поверхні піраміди SABC:

S = 4S = 4*288 = 1152 (см^2)

1)Позначимо через M центр медіани основи AB. Тоді M-середина AB і OM=1/3*OS=8/3 см (за правилом про те, що в правильній піраміді медіана пласкості основи ділить висоту на 3 частини).

Також з відомих нам даних випливає, що BM=DM=1/2*BD=15 см (в правильній чотирикутній піраміді медіани, що сполучають середини протилежних сторін чотирикутника основи, мають однакову довжину і ділять їх площину на чотири ідентичних частини).

Але тоді в правильному трикутнику OMB можна знайти довжину ОВ-катета, використовуючи теорему Піфагора:

OM^2 + BM^2 = OB^2

(8/3)^2 + 15^2 = OB^2

OB = √(256/9 + 225) = √(256+2025)/3 = √2281/3 = (3/√3)*√2281/3 = (3/√3)*13

Поділимо ОВ пополам і отримаємо бічне ребро трикутника ОАD (вказаної умовою піраміди):

AD = (1/2)*OB = (3/2)*(3/√3)*13=9√3 см

Так як трикутник ОАD - правильний і прямокутній, то відомо, що бічне ребро піраміди SABCD дорівнює √(AD^2 + SA^2).

Оскільки нам відомо, що BD = AB√2, то ми можемо вважати АВ = BD/√2.

Тоді площа трикутника SAB дорівнює:

S = (AB * SA * sin(60))/2 = (AB * SA * √3)/4

А площа трикутника ОАД:

S' = (AD * OA)/2 = (AD * OB/2) = (9√3*(3/2)*13)/(2√3) = 58,5 см^2

Прирівняємо значення площ двох трикутників:

S = S'

(AB * SA * √3)/4 = 58,5

АВ = BD/√2 = (AB*√2)/2

Отримаємо систему рівнянь для знаходження бічного ребра SA:

AB^2 + AD^2 = SA^2

AB * SA * √3 = 234

AB = SA/√2

Підставляємо друге рівняння в перше:

(SA/√2)^2 + (9√3)^2 = SA^2

SA^2/2 + 243 = SA^2

SA^2/2 = 243

SA^2 = 486

SA = √486 = 9√54

SA = 9√(3*2^2*3^2) = 18√3 см

Отже, бічне ребро SA дорівнює 18√3 см.

Answer 2

1. Для знаходження бічного ребра \(SA\) в правильній чотирикутній піраміді \(SABCD\), використовуємо теорему Піфагора у трикутнику \(SBO\), де \(SO\) - висота, \(SB\) - половина діагоналі основи, \(BO\) - бічне ребро:

\[ BO^2 + SO^2 = SB^2 \]

Підставимо відомі значення:

\[ BO^2 + 8^2 = \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \]

\[ BO^2 + 64 = \left(\frac{30}{2}\right)^2 \]

\[ BO^2 + 64 = 225 \]

\[ BO^2 = 225 - 64 \]

\[ BO^2 = 161 \]

\[ BO = \sqrt{161} \]

Тепер використовуємо це значення для знаходження бічного ребра \(SA\):

\[ SA = 2 \times BO \]

\[ SA = 2 \times \sqrt{161} \]

\[ SA = 2\sqrt{161} \, см \]

Отже, бічне ребро \(SA\) дорівнює \(2\sqrt{161}\) см.

2. Для знаходження площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди \(SABC\), використовуємо формулу:

\[ S_{бп} = \frac{1}{2} \times периметр \times висота \]

Периметр основи \(ABC\) - це сума довжин сторін трикутника:

\[ П = AB + BC + CA \]

Знаходимо:

\[ П = BC + AB = 6 + 6 = 12 \, см \]

Тепер підставимо в формулу для площі бічної поверхні:

\[ S_{бп} = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \]

\[ S_{бп} = 72 \, см^2 \]

Отже, площа бічної поверхні піраміди \(SABC\) дорівнює \(72 \, см^2\).