Question

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 4. Точки M, N, P являются серединами сторон AB, CD, DE этого шестиугольни-ка. Найдите площадь треугольника MNP.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В прикреплённом файле от

Answer 2

Для нахождения площади треугольника \(MNP\), нам нужно знать длины его сторон. Давайте обозначим точки:

\(A, B, C, D, E, F\) - вершины правильного шестиугольника \(ABCDEF\).

\(M\) - середина стороны \(AB\).

\(N\) - середина стороны \(CD\).

\(P\) - середина стороны \(DE\).

Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны как \(s\). Таким образом, длина каждой из сторон \(AB, CD, DE\) равна \(s\), а площадь шестиугольника можно выразить через длину его стороны следующим образом:

\[S_{ABCDEF} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\]

Теперь, поскольку точки \(M, N, P\) являются серединами соответствующих сторон, длины отрезков \(AM, CN, DP\) равны половине длины соответствующих сторон, то есть \(\frac{s}{2}\).

Теперь у нас есть все данные, чтобы найти площадь треугольника \(MNP\). Она вычисляется по формуле для площади треугольника по его сторонам \(a, b, c\):

\[S_{MNP} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a, b, c\) - длины его сторон.

Для треугольника \(MNP\) стороны равны длинам отрезков \(AM, CN, DP\), то есть \(\frac{s}{2}\). Таким образом, полупериметр \(p\) равен:

\[p = \frac{\frac{s}{2} + \frac{s}{2} + \frac{s}{2}}{2} = \frac{3s}{4}\]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника \(MNP\):

\[S_{MNP} = \sqrt{\frac{3s}{4} \cdot \left(\frac{3s}{4} - \frac{s}{2}\right) \cdot \left(\frac{3s}{4} - \frac{s}{2}\right) \cdot \left(\frac{3s}{4} - \frac{s}{2}\right)}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S_{MNP} = \sqrt{\frac{3s^2}{16} \cdot \frac{s^2}{16} \cdot \frac{s^2}{16}}\]

\[S_{MNP} = \sqrt{\frac{3s^6}{4096}}\]

Теперь мы можем подставить значение площади шестиугольника \(S_{ABCDEF}\) и выразить площадь треугольника \(MNP\) через длину стороны \(s\):

\[S_{MNP} = \sqrt{\frac{3s^6}{4096}}\]

\[S_{MNP} = \frac{s^3\sqrt{3}}{32}\]

Таким образом, площадь треугольника \(MNP\) равна \(\frac{s^3\sqrt{3}}{32}\).