Question

Решите неравенство 16^x+4^x-2>0

Answer 1

$\displaystyle 16^x+4^x-2>0\\(4^2)^x+4^x-2>0\\(4^x)^2+4^x-2>0\\t^2+t-2>0\\t \in (- \infty,-2) \cup (1, + \infty)\\4^x \in (- \infty,-2) \cup (1, + \infty)\\4^x1\\x \notin R,x>0\\x \in (0, + \infty),x>0$

Answer 2

Дано неравенство 16^x + 4^x - 2 > 0.

Для решения этого неравенства, мы можем воспользоваться заменой переменной. Заменим 4^x на (2^x)^2:

(2^4)^x + (2^2)^x - 2 > 0.

Теперь заменим 2^x на переменную y:

y^4 + y^2 - 2 > 0.

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации:

(y + 1)(y - 1)(y^2 + 2) > 0.

Рассмотрим каждый из множителей отдельно:

1) y + 1 > 0 => y > -1. 2) y - 1 > 0 => y > 1. 3) y^2 + 2 > 0 => нет действительных корней.

Так как мы ищем значения y, при которых неравенство выполняется, мы должны рассмотреть все возможные комбинации знаков для каждого из множителей.

Получаем следующую таблицу:

| y | y + 1 | y - 1 | y^2 + 2 | | :-: | :---: | :---: | :-----: | | -1 | 0 | -2 | 3 | | 0 | 1 | -1 | 2 | | 1 | 2 | 0 | 3 | | 2 | 3 | 1 | 6 |

Теперь рассмотрим значения y, при которых неравенство выполняется: y > -1 и y < 1. Из таблицы видно, что это выполняется только при y = 0.

Учитывая, что y = 2^x, получаем решение исходного неравенства 2^x = 0, то есть x = -∞.

Итак, решением исходного неравенства 16^x + 4^x - 2 > 0 является x < -∞.