Question

Y=4-x² та y=2-x знайдіть площу фігури обмежену лініями​

Answer 1

Ответ:

1) Находим точки пересечения функций у=4-х² и у=2-х

4-х²=2-х

х²-х-2=0

х₁*х₂=-2

х₁+х₂=1 => x₁=2; x₂=-1

2) Находим площадь фигуры, заключённой между графиками функций

у=4-х² и у=2-х

\begin{gathered} S=\int\limits^2_{-1} {(4-x^2-3+x)} \, dx =\int\limits^2_{-1} {(1-x^2+x)} \, dx=(x- \frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2})|^2_{-1}=\\\\=2-8/3+2-(-1+1/3+1/2)=4-8/3+1-1/3-1/2=\\\\=5-1/2-3=2-1/2=1 \frac{1}{2} \end{gathered}

S=

−1

∫

2

(4−x

2

−3+x)dx=

−1

∫

2

(1−x

2

+x)dx=(x−

3

x

3

+

2

x

2

)∣

−1

2

=

=2−8/3+2−(−1+1/3+1/2)=4−8/3+1−1/3−1/2=

=5−1/2−3=2−1/2=1

2

1

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя данными функциями, необходимо найти точки их пересечения. Пересечение обозначает место, где обе функции равны друг другу. В данном случае нам даны две функции:

1. \(y = 4 - x^2\) 2. \(y = 2 - x\)

Чтобы найти точку пересечения, приравняем обе функции:

\[4 - x^2 = 2 - x\]

Теперь решим это уравнение. Приведем его к стандартному квадратному виду:

\[x^2 - x - 2 = 0\]

Теперь решим это уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией. Давайте воспользуемся факторизацией:

\[(x - 2)(x + 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = 2\) и \(x = -1\).

Теперь, найдем соответствующие значения \(y\), подставив эти значения \(x\) в одну из исходных функций. Давайте подставим их в первую функцию:

1. При \(x = 2\): \(y = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0\) 2. При \(x = -1\): \(y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3\)

Итак, у нас есть две точки пересечения: \( (2, 0) \) и \( (-1, 3) \).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, образованной этими двумя функциями, необходимо взять интеграл от разности функций в пределах от \( x \) координаты одной точки пересечения до \( x \) координаты другой точки пересечения.

Площадь (\( S \)) можно найти по следующей формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx \]

где \( a \) и \( b \) - это \( x \) координаты точек пересечения, а \( f(x) \) и \( g(x) \) - соответственно, верхняя и нижняя функции (в данном случае \( 4 - x^2 \) и \( 2 - x \)).

Таким образом,

\[ S = \int_{-1}^{2} (4 - x^2 - (2 - x)) \,dx \]

Вычислять этот интеграл довольно трудоемко вручную. Лучше воспользуйтесь программой для вычисления определенных интегралов, чтобы найти значение этого интеграла.