Question

Сколько существует различных тупоугольных треугольников, вершинами которых являются вершины правильного 21-угольника? Правильный многоугольник считается жёстко закреплённым; треугольники, получающиеся поворотом и симметрией, считаются различными.

Answer 1

Ответ:

315

Пошаговое объяснение:

Можно рассмотреть с точи зрения 25 угольника, так как оно делиться на 5, посчитать сколько в нём градусов (n-2)*180 = 4 140 градусов, значит один угол равен 4140/25=165,6 градусов и того мы получаем в сумме 25 треугольников по 180 градусов, умножаем на 12, наше число n (треугольников в одной вершине) и получаем 300, но поскольку мы можем взять одну точку и отразить её симметрично к другим, то ответ будет 25+7*2*25 = 375, а в случае с 21-угольником это будет так Ответ: 21+7*2*21 = 315

Формула нахождения треугольников для любых n угольников такова: n+7*2*n

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать сочетание комбинаторики и геометрии.

Правильный n-угольник имеет n вершин. Мы хотим сформировать тупоугольные треугольники с вершинами в вершинах правильного 21-угольника.

Тупоугольные треугольники образуются, когда одна из вершин треугольника лежит внутри треугольника, образованного двумя другими вершинами. Вершина правильного n-угольника может образовать тупоугольный треугольник с двумя другими вершинами, которые лежат на одной из его сторон.

Давайте рассмотрим правильный 21-угольник. Каждая его вершина может образовать тупоугольный треугольник с двумя из своих соседних вершин. Таким образом, для каждой вершины 21-угольника, у нас есть 2 таких тупоугольных треугольника.

Теперь мы знаем, что у нас есть 21 вершина в 21-угольнике, и каждая вершина может образовать 2 тупоугольных треугольника. Следовательно, общее количество тупоугольных треугольников равно 21 * 2 = 42.

Таким образом, существует 42 различных тупоугольных треугольника, вершинами которых являются вершины правильного 21-угольника.